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Dénombrement : combinaisons

Dans cet exercice, nous traitons le paradoxe des anniversaires, adapté à une classe de 30 élèves. La probabilité que deux élèves aient la même date d'anniversaire est beaucoup plus élevée que prévu. Nous oublions la possibilité du 29 février pour simplifier les calculs. Ainsi, pour chaque élève, la probabilité qu'ils aient une date qui n'a pas encore été prise diminue. Au final, nous obtenons une probabilité d'environ 0,706 que deux élèves aient la même date d'anniversaire parmi les 30. Il est donc préférable de ne pas accepter le pari du professeur, car il a plus de chances de gagner.

Salut, bienvenue dans cet exercice qui est un presque dérivé de ce qu'on appelle le paradoxe des anniversaires. Rapidement, le paradoxe des anniversaires, si on l'adapte ici avec les nombres qu'on a ici, on a 30 élèves, c'est de voir que la probabilité que parmi les 30 élèves, 2 élèves aient la même date d'anniversaire, en fait, elle n'est pas si faible que ça. On aurait tendance à se dire qu'il y a 30 élèves, 365 jours, donc c'est 30 sur 365. Ce n'est pas du tout le raisonnement à avoir. C'est un peu piégeux, c'est pour ça qu'on appelle ça le paradoxe des anniversaires, parce que c'est contre-intuitif, et on va voir un peu ce qui se passe. Donc là, le contexte, on est dans une classe de 30 élèves, le prof de maths veut parier avec vous 10 euros que 2 personnes dans cette classe ont la même date d'anniversaire, est-ce qu'on accepte le pari ou pas ? Donc en gros, est-ce qu'il y a plus de chances que les élèves, parmi les 30, il y en ait 2 qui aient la même date d'anniversaire ou non ? Donc, on cherche la probabilité que 2 personnes aient la même date d'anniversaire. Pour faciliter les calculs, on oublie qu'il existe le 29 février, sinon ce serait un peu trop pénible à prendre en compte. Donc on va calculer la probabilité, on va faire le contraire, on va calculer la probabilité que 2 personnes n'aient pas la même date d'anniversaire. Donc ça veut dire, il y a 30 personnes. Si on veut faire, pour chacune des personnes, quelle est une date d'anniversaire qui n'est pas une qui est déjà tombée, on va les faire à part. Donc la première personne, elle a 365 choix de date, parce que pour l'instant, il n'y a personne qui est tombée, donc elle a 365 choix. Pour la deuxième, elle n'a plus que 364 choix, parce qu'il y a déjà une date qui est prise, il lui reste 364 choix. On fait pareil pour la troisième, 363. Pour la trentième, il nous restera 336 choix. Et on va regarder la probabilité du coup de chacun. Donc la probabilité que 2 personnes n'aient pas la même date d'anniversaire, donc c'est 365 sur 365 pour la première. La deuxième, la troisième, la quatrième et la trentième, 336 sur 365. Donc ça, ça nous fait cette grosse fraction. Et du coup, ça c'est la probabilité que 2 personnes n'aient pas la même date d'anniversaire. Maintenant, la probabilité que 2 personnes aient la même date d'anniversaire, c'est 1 moins la grosse fraction, ce qui nous fait à peu près 0,706. Donc, il y a 70% de chance que parmi les 30 élèves, il y a 2 personnes qui aient la même date d'anniversaire. Donc, clairement, il faut refuser le pari. C'est le prof qui a plus de chance de gagner.

Le problème des anniversaires

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