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La coupe
Dans cet exercice, on nous demande d'organiser une coupe de basket en tirant au sort les équipes de 1ère division et de 2ème division. La première question consiste à calculer la probabilité que chaque match oppose une équipe de chaque division. On calcule d'abord le nombre total de tirages au sort possible, qui est égal à 2N! / (2^N). Ensuite, on calcule le nombre de matchs possibles entre les divisions distinctes, qui est égal à N^2 x N-1^2 x ... x 1^2. En divisant le nombre de matchs possibles par le nombre total de tirages, on obtient la probabilité PN.
Ensuite, on nous demande de calculer la probabilité QN que tous les matchs opposent deux équipes de la même division. On utilise un raisonnement similaire, en supposant que N est pair. On obtient la formule QN = (2K! / (2^K))^2 / (2N! / (2^N))^2.
La troisième question consiste à démontrer que pour tout N supérieur à 1, on a l'inégalité N! / (2N!) <= 1/2^N. On utilise une décomposition de N parmi 2N et on montre que cette inégalité est vérifiée.
Enfin, la quatrième question demande de déduire les limites de Pn et Qn. On utilise les inégalités précédemment démontrées pour minorer Pn et Qn et on montre que les limites de Pn et Qn sont 0.
