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Indépendance : méthodes

Dans cet exercice de probabilité, nous avons pour contexte une voisine ayant deux enfants dont nous ignorons le sexe. Nous étudions les trois événements suivants : A (les deux enfants sont de sexe différent), B (l'aîné est une fille), et C (le cadet est un garçon).

Nous devons montrer que les événements A, B et C sont indépendants deux à deux, mais pas mutuellement indépendants.

Pour commencer, nous supposons que la probabilité d'avoir une fille ou un garçon à la naissance est de 1,5. Nous créons ensuite un arbre pour visualiser les différentes possibilités. Chaque branche a une probabilité de 1,5.

La probabilité de A, c'est-à-dire d'avoir deux sexes différents parmi les enfants, est de 2 chances sur 4, soit 1,5.

La probabilité de B, c'est-à-dire que l'aîné est une fille, est également de 1,5.

La probabilité de C, c'est-à-dire que le cadet est un garçon, est également de 1,5.

Ensuite, nous calculons les probabilités des intersections pour montrer qu'elles sont bien égales à la probabilité du produit des individuelles.

La probabilité de l'intersection entre A et B, c'est-à-dire que les deux enfants sont de sexe différent et que l'aîné est une fille, est de 1 sur 4. Cela est égal à la probabilité de A multipliée par la probabilité de B, soit 1,5 fois 1,5. Donc, A et B sont indépendants.

Les mêmes calculs sont effectués pour les intersections entre A et C, et B et C. Dans les deux cas, les probabilités des intersections correspondent au produit des probabilités individuelles, ce qui montre que A et C, ainsi que B et C, sont indépendants.

Enfin, nous devons montrer que les trois événements ne sont pas mutuellement indépendants. La probabilité de l'intersection entre A, B et C est différente du produit des trois probabilités. Plus précisément, la probabilité de A inter B inter C est de 1 quart, tandis que le produit des trois probabilités est de 1,8. Donc, les trois événements ne sont pas mutuellement indépendants.

C'est ainsi que se conclut cet exercice de probabilité.

Salut, bienvenue dans cet exercice de probabilité. Donc, le contexte. Notre voisine a deux enfants dont on ignore le sexe. On considère les trois événements suivants. A. Les deux enfants sont de sexe différent. B. L'aîné est une fille. C. Le cadet est un garçon. Donc, il faut montrer que A, B et C sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants. Donc, on suppose que la probabilité de la naissance d'avoir une fille ou un garçon, c'est 1,5. Alors, on fait un petit arbre, histoire de voir un peu ce qui se passe. C'est, j'allais dire premier tirage, non. C'est première naissance, c'est fille, garçon. Deuxième naissance, fille, garçon, fille, garçon. Avec à chaque fois une probabilité de 1,5. Donc, P de A, c'est d'avoir deux sexes différents parmi les enfants. Donc, c'est deux chances sur quatre, parce que, vu que c'est à chaque fois 50%, on considère que chaque branche a autant de chances d'arriver que les autres. Donc, on a une première branche, une deuxième branche qui nous intéresse. Deux branches, il y en a quatre au total. Donc, ça fait deux sur quatre, 1,5. P de B, c'est l'aîné est une fille. Donc là, l'aîné pour le premier enfant, il n'y a que deux choix possibles, garçon ou fille. 50% de chances chacun, donc la probabilité 1,5. Et P de C, le cadet est un garçon, même raisonnement, probabilité 1,5. Ensuite, on veut montrer qu'ils sont deux à deux indépendants. Donc, on va calculer les probabilités de chaque intersection. On va voir est-ce que c'est bien égal à la probabilité de chaque produce. Donc, la probabilité de A inter B. Donc, A inter B, c'est, on veut que les deux enfants soient de sexe différent, mais l'aîné est une fille. Donc, ça veut dire qu'on n'a pas le choix. On veut la probabilité de fille, garçon. Il n'y a qu'une possibilité parmi les quatre. Donc, la probabilité, c'est 1 sur 4. C'est bien égal à P de A fois P de B, qui est 1,5 fois 1,5. Donc, ils sont indépendants. A inter C. Donc, A inter C, c'est sexe différent et cadet, un garçon. Donc, ça veut dire cadet, un garçon. C'est forcément l'aîné est une fille, du coup, parce que sexe différent. Donc, fille, garçon. Et probabilité, on vient de la calculer, c'est 1 quart. Et c'est pareil, c'est égal au produit, donc indépendant A et C. P de B inter C, en fait, c'est pareil. C'est fille, garçon, parce qu'on veut l'aîné est une fille. Le cadet est un garçon. Donc, on a toujours la même branche, 1 quart. P de B fois P de C, parce qu'à chaque fois, on était sur 1,5. Donc, ils sont indépendants. Ensuite, il faut montrer qu'ils ne sont pas mutuellement indépendants. Donc, ça veut dire la probabilité de la triple intersection est différente du produit des trois probabilités. Donc, la probabilité de A inter B inter C, on l'a vu, à chaque fois, c'est la même chose. Donc, A et B et C, c'est juste la probabilité de B et C. Donc, ça veut dire d'avoir fille puis garçon. Ça, c'est 1 quart, on vient de le voir. Mais le produit des trois probabilités, c'est 1,5 fois 1,5 fois 1,5. Ça fait, du coup, 1,8. Ce n'est pas la même chose. Donc, les trois événements ne sont pas mutuellement indépendants. Et voilà pour cet exercice.

Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle

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