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Algèbre

Variable aléatoire et binomiale

Dans ce cours, nous étudions l'utilisation des diagrammes en barres pour les lois binomiales. Nous commençons par un exemple où la probabilité de succès (P) est connue à 0,4, mais nous ne connaissons pas la valeur de N. Pour estimer l'espérance, nous devons prendre en compte que la loi binomiale n'est symétrique que lorsque P est égal à 0,5. Cependant, nous pouvons estimer que N est centré autour de 10, en supposant qu'il s'agit d'une valeur entière. Donc, l'espérance (E2x) serait d'environ 10. En utilisant cette information, nous pouvons calculer une valeur possible pour N en utilisant la formule N = E2x/P, ce qui donne 25 pour ce cas précis.

Ensuite, nous étudions une deuxième loi binomiale et nous devons la comparer à la première. Nous pouvons observer que la deuxième loi est plus recentrée et moins étalée que la première. L'écart-type mesure la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne. Une plus petite valeur d'écart-type indique une plus faible dispersion des valeurs par rapport à la moyenne. Les concepts importants à retenir sont l'espérance (NxP), la variance (NPx-P) et l'écart-type (la racine carrée de la variance). Dans le cas de la deuxième courbe, l'écart-type est plus faible, ce qui signifie que la variance (Px-P) est également plus faible.

Ensuite, nous abordons un exercice supplémentaire qui consiste à trouver quelle valeur de P conduit à l'écart-type maximum. Pour cela, nous utilisons la fonction f2x = x*(1-x), qui est un problème de degré 2. En trouvant les racines de cette fonction, nous obtenons 0 et 1. L'extrême de cette fonction est atteint au milieu de ces deux racines, qui est à 1,5. En calculant la valeur de la fonction à ce point, nous obtenons 1,25. Donc, l'écart-type maximum est atteint lorsque la probabilité (P) est de 1,5. Cela s'explique par le fait que lorsque la probabilité est élevée, il y a autant de chances d'avoir des échecs que des réussites, ce qui peut entraîner des résultats très différents. Cet aparté supplémentaire nous montre comment lire des informations à partir d'un diagramme en barres.

En conclusion, ce cours explique comment utiliser les diagrammes en barres pour analyser des lois binomiales, en estimant l'espérance et en comparant les différences d'écart-type entre les différentes lois.

Alors on va voir maintenant comment on peut utiliser les diagrammes en barre des lois binomiales. Là on a un premier exemple, ici en bleu, d'une certaine loi binomiale dont on sait que P, la probabilité de succès, vaut 0,4 mais on ne sait pas combien vaut N. Donc là, première question, il faut estimer combien vaut l'espérance. Alors attention, la loi binomiale n'est pas forcément symétrique, elle ne l'est que quand la probabilité vaut 0,5. Là on nous dit que ça vaut 0,4. On a très envie d'estimer, sachant que c'est un entier, ça a l'air pratiquement centré sur 10. Donc on nous dit que si c'est une valeur entière, on a très envie de dire que c'est là, que c'est centré sur 10. Donc l'espérance de E2x, on a envie de dire que c'est 10, ça a l'air assez centré là-dessus. Ensuite il faut qu'on en déduise une valeur possible pour N. Donc la valeur de l'espérance c'est N fois P, E2x. Donc si on a estimé que E2x vaut 10, c'est-à-dire que N vaut E2x sur P, on trouve 25 répétitions. Ensuite on a une deuxième loi binomiale, et là on nous demande de comparer l'une par rapport à l'autre. Qu'est-ce qu'on voit ? On voit que celle-ci est plus recentrée par rapport à celle-là qui est un peu plus large. Donc par rapport aux écarts-types, c'est-à-dire quoi ? C'est-à-dire que l'écart-type est plus faible si elle est plus resserrée. L'écart-type, n'oubliez pas, ça mesure d'une certaine façon l'écart à la moyenne. Plus j'ai un écart-type élevé, c'est-à-dire que plus en moyenne je serai loin de l'espérance. C'est-à-dire que j'aurai beaucoup de valeurs loin de l'espérance. Et ici, les valeurs que vous pouvez retenir qui sont importantes, c'est l'espérance qui vaut NxP, la variance qui vaut NPx-P, et l'écart-type qui vaut le racine carrée de la variance. L'écart-type est plus faible, puisqu'on a dit qu'elle a l'air d'être plus faible dans la deuxième courbe, et comme N est le même, c'est forcément Px-P qui est plus faible. Petit aparté, petit exercice supplémentaire, on se demande quelle valeur de P est plus faible. Là j'utilise la fonction f2x égale x fois 1-x, et ça c'est un problème de degré 2. Je vois tout de suite les racines, c'est 0 et 1, et je sais que l'extrême 1 m'est atteint entre les deux racines, pile au milieu, donc à 1,5, je fais le calcul, ça fait 1,25. Donc en fait, l'écart-type maximum est atteint quand la probabilité vaut 1,5. C'est normal parce qu'on a autant de chances d'avoir d'échecs que de réussites, donc on peut avoir des résultats très différents si j'ai presque à couture de la réussite, à la fin, au final, j'aurai beaucoup de valeur insérée sur beaucoup de réussites. Pareil si j'ai beaucoup d'échecs, alors que quand je perds 1,5, j'ai beaucoup d'incertitudes, je peux avoir pas mal d'échecs, pas mal de réussites. En fait, comme c'est quick-probable, on peut avoir beaucoup de résultats assez différents. Donc voilà, c'était un petit aparté en plus on va dire, mais voilà comment on peut lire des informations sur un diagramme en barre.

Espérance et écart-type : graphique

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