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Oxford 2022

Le cours aborde un exercice du Mass Admission Test Docteur sur la factorisation et les nombres entiers. Il commence par analyser l'énoncé où il est demandé de factoriser le polynôme x^4 + 1. Il montre ensuite la factorisation en utilisant la formule (a^2 + b^2) = (a + b)^2 - 2ab. Il explique également qu'il est possible de factoriser tous les polynômes de degré supérieur à 2. Il montre ensuite que pour tout réel n, n^4 + 4 ne peut pas être un nombre premier. Il utilise une condition nécessaire pour être premier et montre qu'elle est vérifiée pour n=1, mais pas pour d'autres valeurs de n. Finalement, il conclut que l'ensemble des solutions de l'équation est réduit à l'entier 1.

Nous sommes le 1er janvier 2023, bonne année à tous, et ça fait donc 3 semaines que je suis enrhumé avec le Covid. C'est juste qu'en fait je fais ces vidéos par paquet et donc vu que j'ai tourné un jour de fort enrhumage, si on peut dire ça, vous allez me voir covidé pendant 4 semaines. Et on va faire un exercice du Mass Admission Test Docteur dans l'approche de la fin de cette session 2022, cette fois-ci avec de la factorisation et des nombres entiers. Tout d'abord commençons par analyser l'énoncé. Pour tout réel n, déjà bizarre c'est n et c'est pas un entier, bon. Il est vrai que n4 plus 1, bon je vais le dire avec x vu que c'est un réel, x puissance 4 plus 1 égale factorisation du polynôme x4 plus 1. Incroyable, x carré plus racine de 2 fois x, attention le piège, ce n'est pas racine de 2n, c'est bien racine de 2 fois n. Donc x carré plus racine de 2 fois x plus 1, factor 2, x carré moins racine de 2 fois x plus 1. Vous pouvez le prendre, le développer, ça va donner ça. Tous les termes en n carré, n cube vont dégaler, ça marche. Ça, pour les élèves qui ne sont pas dans le supérieur, c'est un peu une illustration du fait que tous les polynômes de degré supérieur strict à 2 sont factorisables. Soit, de manière très simple, vous avez une racine du genre 3 et racine, donc vous pouvez factoriser un polynôme par x moins 3, bon. Soit s'il n'a pas de racine, ce qui est le cas ici, ça c'est dû à la fonction x puissance 4, c'est un x puissance 2 écrasé qui passe par 0. Donc x puissance 4 plus 1, c'est une espèce de parabole écrasée qui est au niveau de plus 1 ici. Il n'y a pas de racine, ça croise nulle part, il n'y a pas de racine, ça ne croise pas l'axe. Donc on pourrait dire pas de racine, pas de factorisation, et en fait si, il se factorise, mais comment ? Avec deux polynômes qui nécessairement, je n'ai même pas besoin de le vérifier, ont un delta négatif. Parce que si le delta n'est pas négatif, il y a des racines alors qu'on sait qu'il n'y en a pas. Donc voilà, pour vous montrer, il est possible de factoriser soit avec des x-3, soit si on factorise autrement avec des polynômes de degré 2, deux discriminants négatifs. Ça sera un grand grand grand théorème sur les polynômes dans le supérieur, et assez intuitif en partie. Donc à partir de ça, on peut en déduire que n4 plus 4 est 3 petits points, jamais un nombre premier, quelle que soit la valeur du positive whole number, ce qui est en fait un antinaturel, ou ça peut être un entier premier pour une valeur, 2, 3 ou 4. Donc là tout de suite, on retombe dans l'arithmétique. On était sur les polynômes et la factorisation pour les réels, et boum, en fait on tombe dans une question d'arithmétique. C'est bizarre, peut-être une arnaque, on va voir. J'aime beaucoup cette question, déjà parce que 1, il y a cette factorisation que je trouve très élégante, pourquoi pas la retenir si ça vous amuse, voilà. Et en fait on navigue entre est-ce que c'est de l'arithmétique, donc des maths expertes, est-ce que c'est autre chose, des polynômes, et c'est confusant, c'est bizarre, on comprend pas. Et je sais que confusant c'est pas un mot français, mais Académie Française, si vous regardez cette vidéo, mettez-le dans le dictionnaire. Ça prête à confusion, c'est bien, mais c'est long. Je vais me faire insulter par tous les puristes qui vont me dire, arrête de faire l'anglophone ou je sais pas quoi. Mais bref, en gros, j'aime bien parce qu'elle nous fait partir dans plusieurs pistes, et je vais vous montrer la première piste dans laquelle je suis parti, qui était une piste d'échec, pour vous montrer que ce n'était pas absurde d'y penser, ou en tout cas de se tromper, ça peut arriver. Donc tout l'exo pour moi c'est comment utiliser la formule fournie, ça va être ça l'astuce. Donc première piste, de mec qui a bien fait ses maths expertes, je me dis, vas-y, on me donne N4 plus 1, c'est parti, j'écris N4 plus 4 égal, astuce du plus 1, moins 1, je fais apparaître le plus 1 ici, je sépare le 3, boum, j'ai la factorisation, et donc N4 plus 4 égale un truc factorisé plus 3. Bon, et alors ? C'est pas une recette pour trouver des noms premiers ou de pas trouver des noms premiers. Enfin voilà, ça, ça me sert à rien. Le Discord, j'en parle tout le temps, on est maintenant plus de 1200, n'hésitez pas à le rejoindre, c'est une communauté ultra positive, on parle de physique, d'informatique, on parle d'orientation, les gens répondent à vos questions de manière bienveillante, c'est vraiment chouette, beaucoup de partage, allez, je vous laisse pour la suite de la correction, bye bye. En fait j'étais là en mode bon ben au bout de 20 secondes j'ai vu que ça servait à rien ce que j'avais fait, donc c'est dommage, mais bien tenté. Donc deuxième astuce, en gros c'est que je veux utiliser ce truc là. Je me dis bon, là le plus 1, plus 3, marche pas. Autre astuce, alors peut-être qu'il y a le mec qui a fait des centaines d'exos après la prépa qui parle, je suis désolé si ça a l'air un peu tiré par les cheveux pour les lycéens, mais on se dit bon là il y a un 4, moi je veux un 1, je factorise. Je tente, je fais apparaître le 1, non pas en séparant 1 plus 3, mais en factorisant par 4, c'est parti. Si je fais ça, j'ai donc 4 fois n puissance 4 sur 4, plus 1. Je peux factoriser, je me dis 4 c'est quoi ? C'est 2 fois 2, bon ben chaque 2 c'est racine de 2, racine de 2, c'est bon. 4 c'est racine de 2 puissance 4. Là hop, j'ai un élément puissance 4, plus 1. Ah, mais attendez, ça on comprend. Et on commence à comprendre pourquoi l'exercice nous disait pour tout réel n, ça c'est un grand X puissance 4, plus 1. Ben ouais, pour tout réel n, j'ai ce truc là qui est vrai. Donc je peux l'appliquer à n'importe quel réel, notamment un machin qui est clairement pas un entier donc, parce que c'est du n sur racine de 2, il y a l'irrationnel, voilà. Et en fait, je peux appliquer ma formule. C'est pour ça qu'on nous parle de machin de réel, et c'est pour ça qu'en fait là je me dis super, moi j'ai vraiment envie de poser un grand X égale n sur racine de 2. Et je vais pouvoir appliquer la formule ici. Donc c'est bon, ça va sûrement rouler, je me lance, on applique. Petit cœur, retenez ce genre de méthode. Et je me lance quoi, je fais 4 fois, et puis ensuite je remplace là-dedans, dès qu'il y a n, je mets n sur racine de 2. Donc 4 fois, n sur racine de 2 au carré, plus racine de 2, n sur racine de 2, je commence à sentir le truc qui va simplifier, on est sur la bonne piste, tout va bien. Fois tout ce truc là, il n'y a pas de plus 3 qui traîne, moche, ça roule, ben je simplifie un peu. Donc j'ai n4 plus 4 égal, ça c'est n carré sur 2, alors j'accélère parce que j'ai sauté un peu des lignes, donc je vais vous expliquer. Ça c'est n carré sur 2, et là j'ai n carré sur 2, parce que racine de 2 au carré c'est 2. Vous allez me dire, d'où sort ce n carré ? Ben en fait j'ai n carré sur 2, hop, il y a 1 fois 4, ça c'est 2 fois 2, il y a un 2 que je mets sur cette parenthèse, un 2 que je mets sur cette parenthèse. Donc ici je fais 2 fois n carré sur 2, ça fait n2, racine de 2, racine de 2 ça dégage, plus 2n, 1 ça fait plus 2. La même chose ici, donc le 4 je le divise encore une fois en 2, il y en a un qui va sur chaque parenthèse, ici c'est 2 fois n carré sur 2, ça fait n carré, racine de 2 ça dégage, il reste moins 2n, 1 ça devient 2. Parfait ! Donc là j'ai mon n4 plus 4 qui est factorisé. En fait je trouve ce truc là, n carré plus 2n plus 2, n carré moins 2n plus 2, très similaire à la formule qu'il y a là-haut, sans les racines, mais voilà, une formule assez sympa. Sauf qu'ici, comme j'ai noté là, je n'ai pas de racines de 2, j'ai que des entiers. Et donc mon raisonnement sur les entiers, sur les nombres premiers va pouvoir commencer à prendre forme. Là je peux écrire n puissance 4 plus 4 sous la forme d'un produit de 2 entiers. C'est toujours des entiers positifs. Parce que même si on prend n égal, on peut vérifier, mais ce machin là, en gros c'est n moins 1 au carré plus 1, quelle que soit la valeur de n, c'est bon, c'est toujours positif. Donc c'est ok, tout est positif. Donc là j'ai des entiers. Donc raisonnement, je vais chercher une condition nécessaire pour être premier. Ça ne sera peut-être pas suffisant, ça va être important dans le raisonnement, mais ça va être assez important, ça va être utile. Donc condition nécessaire, si un des deux est égal à 1. Absolument, si n4 plus 4 est premier, forcément il y a un des deux qui est égal à 1, et l'autre qui est égal à n4 plus 4, qui sera égal à lui-même. Donc j'ai deux essais. Soit ce machin là est égal à 1. Ah parfait, ça simplifie avec le 2, ça me fait apparaître une identité remarquable. n plus 1 au carré est égal à 0. On parlait de n anti-n naturel. C'est mort, ça n'arrive jamais. Donc on n'aura jamais ce truc là qui est égal à 1. Donc impossible de ce côté là. De l'autre côté, c'est la même chose, identité remarquable, mais l'autre. n moins 1 au carré est égal à 0. Donc possible d'avoir un de ces trucs là qui est égal à 1. Pas ici, mais ici. Dans un seul cas unique, qui est n moins 1 au carré égal à 1, n égal à 1. Donc attention, qu'est-ce qu'on a dit ? On a dit, je le mets ici parce que c'est très important ce genre de raisonnement, on a montré que pour tout n qui est plus grand strict que 1, donc un antinaturel plus grand strict que 1, n puissance 4 plus 4 ne sera pas premier. Pourquoi ? Parce qu'en fait il est produit de deux entiers qui ne peuvent pas être égaux chacun à 1. J'ai montré que voilà, si j'avais un n qui était non 1, plus grand strict que 1, donc 2, 3, 4, ce que vous voulez, ni ce truc là, donc ce truc là n'est jamais égal à 1, donc c'est un entier à part entière, et ce truc là non plus. Ce truc là ne peut être égal à 1 que si n vaut 1. Donc si n n'est pas 1, ce truc là est un entier qui n'est pas 1. Donc là j'ai un produit de deux entiers qui ne sont pas 1, ce machin là n'est donc pas premier. Voilà ce que j'ai montré. Ça ne veut pas dire que pour n égal à 1, c'est bon. Là c'est la différence entre conditions nécessaires et suffisantes. C'est pour ça que dans plein d'exemples on vous embête avec, comment ça s'appelle, des réciproques. Parce que là vous avez éliminé, vous avez dit apparemment la seule chose possible, j'ai cette condition nécessaire qui m'amène à la seule possibilité qui reste attestée pour une solution. Mais je n'ai pas montré que c'était une solution. Potentiellement il n'y en a pas et ça ne marche pas. C'est peut-être que ce cas là, il n'est pas encore déterminé, nous amène à une solution, mais quand même il faut déterminer si c'est jamais ou une seule valeur. Donc c'est soit 1, soit 1 ne marche pas et donc ça sera ici. J'insiste parce que ce truc de conditions nécessaires et suffisantes, souvent je pense que vous faites un peu herculons, c'est quoi cette réciproque, c'est bon, c'est évident. Justement, là c'est un bon exemple. Donc on a montré que S est inclus dans 1, l'ensemble des solutions c'est l'ensemble des entités qui font que M4 plus 4 est premier, l'ensemble des solutions c'est inclus dans 1, dans l'ensemble composé que de 1. Donc l'ensemble des possibles c'est ça. C'est égal uniquement si 1 est inclus dans l'ensemble des solutions. Donc si j'ai une double inclusion, alors j'aurai une égalité, il faudra que je vérifie si pour N égale 1 ça marche. Ça prend une demi-seconde, je pense que vous l'avez déjà. Pour N égale 1, je calcule ça, oui ça marche, ça fait 5. Et donc 5 c'est premier, on peut conclure S égale 1. J'ai voulu insister parce que j'ai remarqué que c'était pas souvent très clair ce truc-là, ce genre de raisonnement de double inclusion réciproque, donc j'ai voulu insister. Posez-moi des questions en commentaire si besoin, j'espère que ça vous a aidé, et je vous retrouve la semaine prochaine pour une nouvelle vidéo, et encore une fois, bonne année ! Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

Polynôme de degré 4 et nombres premiers

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