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Physique-Chimie

Physique

Principe de l'induction

Dans cette vidéo, nous examinons le mouvement d'un aimant droit de moment magnétique M, dont le pôle nord est orienté vers un circuit. Le circuit est composé d'une spire de rayon A, de centre O, d'axe OZ assimilable à une résistance R. L'aimant glisse le long de l'axe OZ à une vitesse constante V0. Le champ magnétique créé par l'aimant à une distance Z sur l'axe est donné par l'expression B = (-μ0M)/(2πZ^3). 

Le sens du courant d'intensité I est déterminé par l'orientation de la surface DS. Lorsque l'aimant recule, le flux du champ magnétique augmente, ce qui induit un champ magnétique induit dans le sens opposé pour lutter contre ce phénomène. Ainsi, la norme I est strictement négative. 

Pour déterminer la force électromotrice induite E, nous utilisons la loi de Faraday qui indique que E = -(dΦ/dt). En calculant le flux magnétique, on obtient Φ = -πA^3K/Z^3. En dérivant par rapport au temps, on trouve que E = -(3πA^2K)/(V0^3T^4). 

Pour déterminer la valeur de Z, on utilise la loi des mailles pour établir la relation entre I et E, soit I = E/R. Cela donne I = -(3πA^2K)/(RV0^3T^4). 

Lorsque l'aimant s'éloigne de la spire, le courant est négatif, ce qui est cohérent avec les résultats obtenus précédemment. 

L'aspire se comporte comme un aimant avec un moment magnétique dirigé vers le bas suivant l'axe EZ. Par conséquent, elle exerce une force d'attraction sur le véritable aimant. 

Si l'aimant est immobile mais proche de l'aspire, il n'y a pas de mouvement, donc pas de variation du flux magnétique, et donc pas de courant induit. 

Cet exercice nous montre comment étudier le comportement d'une spire en tant qu'aimant et prédire ses effets sur le déplacement d'un aimant réel.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va revenir sur le cas du mouvement de l'aimant. Alors, on se replace dans la condition, on étudie ici un aimant droit de moment magnétique M, dont le pôle nord est orienté vers un circuit. Ce dernier est composé d'une spire de rayon A, de centre O, d'axe OZ assimilable électriquement à une résistance R. L'aimant glisse le long de l'axe OZ et s'éloigne de la spire à vitesse V0 constante, c'est le cas du premier exercice. Le champ magnétique créé par l'aimant à une distance Z sur l'axe est donné, dans le cas où Z est très très grand devant A, par l'expression suivante. B est donc égale à moins mu0 grand M divisé par deux pi Z au cube, suivant EZ. Et donc on peut tout agréger suivant une constante K, c'est donc moins grand K divisé par Z au cube suivant EZ. Alors, on a l'ensemble du mouvement, maintenant qualitativement, quel est le sens du courant d'intensité I qu'on aura ? Si on se rappelle du premier exercice qui nous donnait qualitativement l'idée du sens dans lequel il y aura, on rappelle ici pour un aimant qui émet un champ magnétique dans ce sens-là, avec une surface DS qu'on oriente dans ce sens-ci, c'est la convention que l'on pose, avec d'après la règle de la main droite, un courant I qui est dans ce sens-là. Ici, de ce côté de la spire, il est vers le bas. Eh bien, si on pose toutes ces conventions juste ici, on a l'aimant qui recule mais qui en fait augmente le flux, vu qu'on va avoir de plus en plus de champ magnétique qui va arriver dans ce sens-là. Donc le flux du champ magnétique, il augmente. On a donc l'apparition, on se souvient, d'un champ magnétique induit qui doit lutter contre ce phénomène. Effectivement, si le flux augmente, on doit avoir un champ magnétique qui doit faire baisser le flux. D'après la règle de la main droite, si on a posé I dans ce sens-là, c'était pour que BI soit dans le même sens que DS, c'est plus simple pour raisonner. Donc avec BI dans le même sens que DS, si on veut que le flux soit négatif, il faut que la norme du champ magnétique BI soit strictement en négative. Et donc à ce moment-là, avec cette convention de noter le courant dans ce sens-ci, on a la norme I qui est strictement négative. Voilà, on a repris le raisonnement du premier exercice. Alors maintenant, déterminer la force électromotrice induite E, on l'exprimera en fonction de A et de la vitesse V0, qui est égale à Z point de l'aimant. Alors on se souvient, déterminer la force électromotrice induite, c'est la loi de Faraday qu'il faut appliquer juste ici. Donc on se rappelle, d'après la loi de Faraday, E c'est moins la variation temporelle du flux, donc moins D de grand phi sur DT. Et donc c'est parti, de la même manière, on va calculer le flux pour avoir sa variation par rapport au temps. Donc, ici le calcul du flux, on se souvient, grand phi c'est l'intégrale sur la surface de B scalaire DS. Or ici, d'après ce qu'on a posé par convention, c'est tout simplement un choix de notre part, et bien DS c'est DS fois EZ. Donc finalement, si on fait l'application numérique, enfin pas du tout, si on fait le produit scalaire B produit scalaire DS, c'est tout simplement moins K divisé par Z cube fois DS. Alors pour avoir le flux, on intègre sur la surface. Alors la surface, ici, la surface unitaire, ça correspond à quoi ? Eh bien, ça il faut le savoir. DS, dans le cadre d'un petit cercle, dans le cadre d'un disque, c'est RDR fois Dθ. C'est en fait, suivant la direction du rayon, c'est DR, et suivant l'angle, c'est RDDθ. Donc ça, c'est des choses qu'on peut redémontrer dans le cours, mais voilà, c'est à connaître et à pouvoir sortir facilement. Le vecteur unitaire pour un disque, c'est RDRDDθ. Eh bien ici, on intègre sur toute la surface, c'est-à-dire que pour R, R va de 0 à A, quand on fait tout le rayon, et pour l'angle, l'angle va de 0 à 2π, donc finalement, θ va de 0 à 2π. Et ici, on se retrouve avec une intégrale double, tout simplement. Donc, d'un côté, on peut sortir ça, qui ne dépend ni de R, ni de θ. RDR, l'intégrale de 0 à A, ça va nous donner 1,5 de R². Ah d'ailleurs, j'ai oublié le petit 1,5, juste ici. Et puis, le Dθ, ici, ça va nous donner tout simplement 2π. Non, je ne l'ai pas oublié, en fait, j'ai simplement ici simplifié le 2π avec le A² divisé par 2. Donc au final, on a un flux du champ magnétique qui est égal à –πA³K divisé par Z³. Et donc, on peut l'exprimer en fonction de V0 avec Z³ qui est égal à V0³T³. Maintenant que l'on dispose de ça, comment est-ce qu'on obtient la force électromotrice ? Eh bien, on dérive par rapport au temps et on n'oublie pas le petit signe au moins, puisque c'est un effet qui s'oppose. Donc, on a E, en dérivant par rapport au temps, et bien ici, on se rend compte que les signes au moins se compensent, et puis on peut extraire tout ça, qui ne dépend pas du temps, tout simplement la dérivée temporelle de 1 sur T³. Donc finalement, la force électromotrice E, en fonction du temps, c'est –3πA²K divisé par V0³T³. On a tout simplement dérivé 1 sur T³. Très bien. Maintenant, troisième question. Demaine, déterminer la valeur de Z. Alors, on se souvient, comment est-ce qu'on détermine la relation entre I et la force électromotrice qui est générée ? Eh bien, c'est tout simplement la loi des mailles à l'intérieur du schéma électrique équivalent. Donc, d'après l'énoncé, on a une résistance R, juste ici, et puis, bien sûr, la force électromotrice qui est induite par la variation du flux. Donc, avec la convention qu'on a notée, d'après la loi des mailles, on a I qui est égale à E divisé par R. Donc finalement, le courant en fonction du temps, c'est –3πA²K divisé par RV0³T4. Voilà. Donc, on a déjà une expression pas très triviale. Question 4. Supposons que l'aimant, maintenant, s'éloigne de l'aspire. Le résultat est-il cohérent avec celui de la première question ? Alors, si l'aimant s'éloigne de l'aspire, ça correspond à quoi ? Ça correspond à une vitesse V0 qui est strictement positive. Donc ici, le courant, si on détermine son signe, on a V0³ qui est donc positif. Tout le reste est positif. Donc finalement, I est bien négatif. C'est bien cohérent avec ce qu'on avait supposé, ce qu'on avait déterminé avec la loi de Lenz à la question numéro 1. Donc, tout roule jusque-là. Question 5. Montrez que l'aspire se comporte comme un aimant, et on en donnera l'épaule et la force, l'attraction ou répulsion qu'elle exerce sur le véritable aimant. Eh bien, un aimant, en fait, ça correspond, c'est équivalent à un moment magnétique. Ici, on a un moment magnétique qui va du sud vers le nord. Juste ici, donc ce qu'il faut, c'est montrer qu'il existe un moment magnétique particulier pour l'aspire. Même si ce n'est pas un aimant, elle a quand même la caractéristique d'un aimant qui est le moment magnétique. Eh bien, on se souvient, le moment magnétique d'une aspire, ça correspond à petit m qui est égal à I fois grand S. Donc finalement, si on le calcule, le moment magnétique en fonction du temps, c'est moins 3 pi carré A puissance 4 fois K divisé par RV0 au cube fois T puissance 4 suivant EZ. Alors, on se souvient que toute cette grandeur-là, elle est positive. Donc finalement, le moment magnétique de l'aspire, il est suivant moins EZ. Donc si on fait un petit schéma, le fait que l'aspire possède un moment magnétique, elle va se comporter comme un aimant de moment magnétique petit m orienté suivant moins EZ. Juste ici, donc dans ce sens-là. Alors ici, si on fait l'exercice mental de juste s'extraire de l'énoncé, si on nous proposait juste deux aimants ici orientés dans ce sens-là, eh bien, on pourrait directement déduire que la force d'attraction, enfin, la force entre les deux, c'est une force d'attraction puisqu'ils se montrent leurs deux pôles opposés. Bien sûr, le nord est attiré par le sud. Donc finalement, la force qu'elle exerce sur le véritable aimant est dans ce cas attractive, comme vous pouvez s'y attendre. L'aimant cherche à s'en aller. Eh bien, par opposition, forcément, il va y avoir une force attractive qui va empêcher son mouvement, qui va contrer cette variation. Question 6. On suppose désormais que l'aimant est immobile, mais proche de l'aspire. Existe-t-il un courant ? OK. Alors, c'est un cas un peu particulier où l'aimant est immobile. Eh bien, s'il n'y a pas de mouvement, et que, bien sûr, le flux du champ magnétique, il reste le même, il n'y a pas de raison que le champ magnétique change, eh bien, il n'y a pas de variation du flux du champ magnétique. Donc, il n'y a pas de courant induit, il n'y a pas toute l'étude que l'on peut faire intervenir. Donc, bien sûr, on se souvient qu'à la base, tout part d'une variation du flux du champ magnétique, qui est ici induite par le mouvement de l'aimant qui cherche à s'en aller. Donc, c'est pour ça qu'il ne faut jamais oublier d'où ça vient, et ne pas se lancer directement dans les calculs. Voilà, c'est la fin de cet exercice assez original sur cette manière de voir l'aspire comme un aimant, et donc de prévoir les effets qu'elle va avoir sur le déplacement du véritable aimant. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis à bientôt !

Mouvement d'un aimant

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