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Dans cet exercice de géométrie dans l'espace, nous sommes confrontés à différents problèmes liés à la géométrie et à la trigonométrie. Les principales étapes de l'exercice sont les suivantes :

1. Trouver les coordonnées des points E, F, G et K dans le repère donné.
2. Montrer que le vecteur N est orthogonal au plan E, G, K en effectuant des calculs de produit scalaire.
3. Trouver l'équation cartésienne du plan E, G, K en utilisant le vecteur normal et un point du plan.
4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D orthogonale au plan E, G, K et passant par F.
5. Calculer les coordonnées du projeté orthogonal de F sur le plan E, G, K en résolvant un système d'équations.
6. Justifier que la longueur LF est égale à 2/3 en utilisant la formule de calcul de distance dans l'espace.
7. Calculer l'aire du triangle EFG et en déduire le volume du tétraèdre EFGK en utilisant les formules appropriées.
8. Déterminer le volume du tétraèdre FPMN en utilisant le théorème de la droite des milieux.

En résumé, cet exercice aborde différents concepts de géométrie et de trigonométrie dans l'espace, tels que l'orthogonalité, les équations cartésiennes, les représentations paramétriques, les projetés orthogonaux, les longueurs, les aires et les volumes dans le contexte d'un tétraèdre.

Salut, bienvenue dans cet exercice de géométrie dans l'espace de type BAC. C'est un exo classique de géométrie dans l'espace. Du coup, on va avoir de l'orthogonalité via le produit scalaire, on va avoir de l'équation cartésienne à calculer, de la représentation paramétrique à calculer, du projeté orthogonal, une longueur même à calculer. Ce qui est particulier dans celui-là, c'est qu'on a un petit volume à calculer et même un volume de tétraèdres à la fin. On va voir ce que ça donne. Pour commencer, on nous dit préciser les coordonnées des points E, F, G et K. Là, on regarde rapidement. On est dans le repère A, A, B, A, D, A, E. Donc, A, A, B, A, D, A, E. Pour trouver les coordonnées, on a juste à regarder quel chemin de base on doit faire. Par lecture graphique, on trouve que E, c'est 0, 0, 1. F, c'est 1, 0, 1. G, c'est 1, 1, 1. Et K, c'est 1, 1,5, 0. Ensuite, on nous demande de montrer que le vecteur N, qu'on définit comme étant le vecteur 2, moins 2, 1, est orthogonal au plan E, G, K. Par définition qu'on retrouve dans le cours, N est orthogonal à un plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non collinéaires de ce plan. E, G et E, K, on voit directement qu'ils sont non collinéaires parce qu'il y a un 0 et un moins 1. Déjà, ils ne sont pas collinéaires parce qu'on ne peut pas passer de 0 à moins 1 en multipliant par un nombre. Donc, ils sont non collinéaires. On va voir si N est bien orthogonal à ces deux vecteurs-là. On fait le calcul du produit scalaire avec les coordonnées. Pour rappel, le calcul d'un produit scalaire pour N et E, G, ce sera 1ère fois 1ère, 2ème fois 2ème, 3ème fois 3ème. On additionne tous ces résultats. Ça nous fait 2 fois 1, plus moins 2 fois 1, plus 0 fois 1. Tout ça, ça fait 0. On utilise la même formule de produit scalaire pour le produit scalaire entre N et E, K, qui nous donne aussi 0. Finalement, N est orthogonal au plan E, G, K comme on nous l'avait demandé. Ensuite, on nous demande de montrer que le plan E, G, K, admis pour l'équation cartésienne, 2x moins 2y plus z moins 1 égale 0. Là, ce qu'on fait, on a un vecteur normal. Donc, soit on passe par le fait d'avoir un point M, on a ses coordonnées, il est sur le plan, le produit scalaire doit être machin. Personnellement, je ne suis pas fan de cette méthode. Moi, je préfère tout simplement utiliser le cours qu'on nous dit que quand on a un vecteur normal qui est ici, on sait qu'une équation cartésienne du plan E, G, K, parce que là, il est normal E, G, K, une équation cartésienne de E, G, K, on aura 2x moins 2y plus z plus D est égale à 0. Aussi simplement que ça. Et le point D, on le trouve en prenant un point du plan qu'on connaît et on remplace ses coordonnées. Donc, comme je disais, on se retrouve avec cette équation. Il reste juste à trouver le D. On trouve un point du plan, on sait que E est sur E, G, K. Il n'y a pas besoin de justifier plus que ça. On remplace les coordonnées de E qui sont 0, 0, 1. On remplace là-dedans x, y, z par 0, 0, 1. Et on trouve que ça nous fait 1 plus D est égale à 0. Donc, très rapidement, D est égale à moins 1. On n'a plus qu'à remplacer E, G, K, admis pour l'équation cartésienne, 2x moins 2y plus z moins 1 est égale à 0, exactement comme on nous le demandait. Ensuite, déterminer une représentation paramétrique de la droite D orthogonal au plan E, G, K, passant par F. Donc là, pour faire ça, pour avoir une représentation paramétrique d'une droite, ce qu'on a besoin, c'est un point qui est sur la droite, on nous dit passant par le point F, et un vecteur directeur de cette droite. Donc là, on ne nous en donne pas directement. On nous dit que la droite est orthogonale au plan E, G, K. Mais on nous dit que le vecteur n est orthogonal au plan E, G, K. Donc finalement, n, c'est un vecteur directeur de la droite. Donc on a notre vecteur directeur, on a notre point, donc il n'y a plus qu'à écrire. Étant donné que n, c'est un vecteur directeur de D, la représentation paramétrique, on retrouve ici les coordonnées de F, qui sont 1, 0, 1, comme ça qu'on fait une représentation paramétrique. On écrit les coordonnées, donc 1, 0, 1, et ensuite les coordonnées de n, donc là, 2, moins 2, 1, et on multiplie chaque coordonnée de n par T, et le T va décrire R. Donc voilà, une représentation paramétrique de la droite D. Ensuite, montrer que le projeté orthogonal de L de F sur le plan E, G, K a pour coordonnées 5, 9, 4, 9, 7, 9. Donc là, ce qu'il faut comprendre, c'est une question classique, on nous parle de projeté orthogonal, mais en réalité, ce qu'il y a derrière ce projeté orthogonal, c'est un point d'intersection. Parce qu'étant donné que la droite D est orthogonale au plan E, G, K, et que F appartient à la droite D, son projeté orthogonal sur le plan, c'est exactement le point d'intersection de la droite et du plan. Donc finalement, L appartient à la fois à la droite et au plan. On note X, Y, Z, ces coordonnées. Étant donné qu'il est sur la droite, il existe un T, tel que ces coordonnées vérifient la représentation paramétrique de la droite. Mais étant donné qu'il est aussi sur le plan, ces coordonnées vérifient l'équation cartésienne du plan. Là, ce qu'on fait, c'est qu'on remplace X par ça, on remplace Y par ça, on remplace Z par ça. Ça nous fait une équation à une inconnue en T. C'est ce qu'on fait ici. On développe, on résout, et on trouve T égale moins 2 sur 9. Ce n'est pas fini, parce que ce n'est pas T qui nous intéresse. Nous, c'est X, Y et Z. Mais une fois qu'on a la valeur de T, on remplace dans ces trois valeurs-là, on fait les calculs. Donc X, c'est 1 plus 2T, ça nous fait 5 neuvièmes. Y, c'est moins 2T, ça nous fait 4 sur 9. Et Z, c'est 1 plus T, ça nous fait 7 sur 9. Finalement, le point L a bien pour coordonnées 5 sur 9, 4 sur 9 et 7 sur 9, comme on nous l'avait demandé. Sixième question. On nous dit justifier que la longueur LF est égale à 2 tiers. On utilise la formule classique, le calcul d'une distance, qu'on manipule depuis la seconde maintenant. C'est la version dans l'espace, pour rajouter ce morceau-là, sinon c'est la même formule. Vu qu'on veut LF, ça nous fait XF moins XL au carré, plus YF moins YL au carré, plus ZF moins ZL au carré, et le tout sous une racine carré. On remplace par les coordonnées. On a 1 moins 5 neuvièmes au carré, plus 0 moins 4 neuvièmes au carré, plus 1 moins 7 neuvièmes au carré. Surtout ne pas oublier les parenthèses ici, sinon on pourrait se retrouver avec du négatif. Donc voilà, on fait les calculs. Après calcul, on trouve bien 2 tiers. Ensuite, dans la question 7, on nous dit calculer l'aire du triangle EFG et en déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à 1 sixième. Alors, rappel, volume d'un tétraèdre, ça, ça dépend. Dans le doute, il faut le savoir, mais typiquement, on ne nous le dit pas. Donc dans le doute, il faut le savoir, mais il y a des exos de Bach qui nous donnent le rappel du volume d'un tétraèdre comme étant basse fois hauteur sur 3. Alors ici, la base, c'est l'aire d'un triangle. Attention, ce n'est pas la base d'un triangle comme étant à côté. Ici, la base, c'est l'aire du triangle opposé à la hauteur. Donc la base qu'on va utiliser, c'est l'aire, comme je disais, du triangle EFG parce qu'on a tout ce qu'il faut. L'aire de EFG, c'est EF fois FG divisé par 2. Donc, ça nous fait 1 fois 1 divisé par 2. Alors, pourquoi ça ? Parce que EFG, quand on regarde, c'est un triangle rectangle. Parce que normalement, l'aire d'un triangle, c'est basse fois hauteur divisé par 2. Ce n'est pas côté fois côté. Mais étant donné que là, on est dans un triangle rectangle ici, l'aire d'un triangle rectangle, c'est la multiplication des deux côtés qui sont adjacents à l'angle droit divisé par 2. Ou alors, c'est ce côté-là fois cette base-là, mais cette base-là, on ne la connaît pas. Pardon, cette base-là fois cette hauteur-là qu'on ne connaît pas. Donc, on va plutôt utiliser EF fois FG, mais qui sont des arêtes de notre cube, donc finalement, qui sont de longueur 1. Donc, si on revient là où on en était, ça fait 1 fois 1 divisé par 2, ça nous fait 1 demi. Et la hauteur BF est égale à 1. Donc finalement, l'aire du triangle nous fait 1 demi fois 1 fois 1 tiers. Donc là, 1 demi qui est l'aire, 1 qui est la hauteur, et 1 tiers qui est le 1 tiers divisé par 3 dans la formule. Et donc tout ça, ça nous fait 1 sur 6. On retrouve bien ce qu'on nous avait demandé. Et on nous dit de déduire des questions précédentes l'aire du triangle EGK. Donc, comme pour l'aire d'un triangle, dans l'aire d'un tetraèdre, on peut considérer la base qu'on veut. Ce qui est important, c'est de prendre la hauteur qui est associée à cette base. Donc là, nous, ce qu'on a utilisé, c'est la base EFG, le triangle EFG comme étant la base. En fait, si on considère le triangle EGK comme étant la base, la hauteur associée, c'est LF. Et donc, LF, on sait que ça fait 2 tiers. On sait que l'aire fait 1 sixième. Donc, finalement, l'aire du tetraèdre, on peut aussi la calculer avec la nouvelle formule qui est LF et l'aire de EGK. On remplace tout ça. Donc, ça nous fait 1 tiers fois 2 tiers, ça nous fait 2 neuvièmes. Et donc, si on isole l'aire de EGK, en passant celui-ci de l'autre côté, donc en divisant, ça nous fait 1 sur 6 fois 9 demi, qui nous fait 3 quarts. Donc, voilà pour l'aire du triangle EGK. Ensuite, on nous dit, on considère les points P milieu de EG, M milieu de EK, et N milieu de GK, déterminer le volume du tetraèdre FPMN. Alors, là, on utilise la formule encore du volume d'un tetraèdre qui est 1 tiers de l'aire du triangle PMN fois LF, qui est la hauteur, toujours la même, associée à cette aire-là. Mais, on va utiliser le théorème de la droite des milieux. Donc, le triangle qui est formé par les milieux de chaque longueur d'un triangle, vu qu'on a divisé chaque longueur par 2, en fait, on divise l'aire par 4. Donc, finalement, l'aire de PMN, c'est 1 quart de l'aire de EGK, donc c'est 1 quart fois 3 quarts, et ça nous fait 3 sur 16. Donc, le volume du tetraèdre qui nous intéresse, on a juste à remplacer, ça nous fait 1 tiers fois 3 sur 16 fois 2 tiers, ça nous fait 1 sur 24. Et donc, voilà pour cet exercice.

Géométrie - Métropole 2022

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