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Corrigés de BAC

Bac Maths

Centres étrangers 2

Cet exercice de BAC porte sur les fonctions et les suites. La première question concerne la convexité d'une fonction donnée. Après avoir dérivé et analysé le signe de la dérivée seconde, on conclut que la fonction est convexe.

La deuxième question concerne la parallélisme d'une tangente à une courbe avec une droite donnée. En comparant les coefficients directeurs, on trouve que la tangente est parallèle à la droite d'équation y = x.

La troisième question concerne la majoration d'une suite donnée. En divisant l'inégalité et en analysant les bornes, on conclut que la suite est bornée.

La quatrième question concerne le signe alterné d'une suite. En remarquant que les termes pairs et impairs ont des signes différents, on conclut que le terme initial a le même signe que le dixième terme.

La cinquième question demande de trouver la valeur initiale d'une suite. En utilisant les équations de récurrence, on trouve que la valeur initiale est 5.

La sixième question concerne les variations d'une suite. En étudiant le rapport entre les termes successifs, on conclut que la suite est décroissante.

La septième question concerne le temps de génération des cellules. En utilisant une équation exponentielle et en résolvant une inégalité logaritmique, on trouve que le temps de génération est de 20 minutes.

Cet exercice couvre différents concepts en mathématiques et permet de s'exercer sur les fonctions, les suites et les équations.

Salut, bienvenue dans cet exercice de BAC sur les fonctions et suites. Cet exercice est un QCM, comme ça tombe souvent. Chaque question est indépendante des autres, donc on va les regarder une par une. On commence, la première question, on nous donne une fonction g2x égale x puissance 1000 plus x, et on nous propose des affirmations sur la convexité possible de g. Donc soit concave, convexe, point d'inflexion, deux points d'inflexion, etc. Là, ça ne saute pas du tout aux yeux ce qui se passe, donc il faut dériver deux fois et voir le signe. Donc g, elle est continue et dérivable, c'est un polynôme. g'2x, c'est 1000 x puissance 999 plus 1. g' est continue et dérivable, et on a g'2x, donc g'', c'est 1000 fois 999 fois x puissance 998. Donc ça, c'est positif sur r, parce que ça, c'est un nombre positif, et là, on est à une puissance paire de x. Donc les puissances paire de x sont toujours des résultats positifs. Parce que si on met un nombre négatif pour x, le fait de le mettre à une puissance paire, ça le rendra positif. Donc tout ça, c'est toujours positif, donc g, elle est convexe. La dérivée seconde est positive, g est convexe, donc c'est la réponse b. Question 2, on nous dit, on considère une fonction f qui est définie et dérivable, f' c'est sa dérivée, c'est la courbe représentative de f, γ, donc la courbe qui est tracée ici, c'est la courbe de f', et on note t, la tangente à la courbe de f, donc c, c'est la courbe de f, au point de la psy 0, et on peut affirmer que la tangente t est parallèle à la droite d'équation, et on nous donne plusieurs droites d'équation. Là, ce qu'il faut regarder, c'est que pour savoir si elle est parallèle, il faut regarder le coefficient directeur de la tangente, parce que deux droites sont parallèles, si et seulement si, elles ont le même coefficient directeur. Donc, on sait que, au point de la psy 0, la tangente à la courbe au point de la psy 0, son coefficient directeur, ce sera f' de 0. F' de 0, c'est ce qu'on va observer ici. Ça, c'est la courbe de f', donc f' de 0, on regarde au point de la psy 0, f' de 0, on est ici en 1, donc f' de 0, c'est 1. Là, la tangente à la courbe, elle a pour coefficient directeur 1, donc on va regarder ce qui se passe. Ici, le coefficient directeur, c'est 0. Ici, c'est censé être une droite verticale, ce n'est pas le cas. Ici, le coefficient directeur, c'est 0 aussi, parce que ce n'est pas 1x, c'est juste 1. Et ici, c'est y égale x, donc le coefficient directeur, c'est 1. C'est la réponse A qui nous intéresse pour avoir la parallèle. Ensuite, troisième question. On considère la suite Un, définie pour tout entier naturelle, par Un est égale à moins 1 puissance n sur n plus 1. Et on nous dit certaines affirmations sur la suite majoré, borné, minoré, tout ça. Donc on va regarder un peu ce qui se passe. On sait que moins 1 puissance n, c'est compris entre moins 1 et 1, parce que ça vaut soit moins 1, soit 1, soit moins 1, soit 1, etc. Donc c'est compris entre moins 1 et 1. On divise par n plus 1, qui est positif, donc quand on le divise dans une inégalité, on ne change pas le sens. Donc ça nous fait moins 1 sur n plus 1 inférieur ou égal à moins 1 puissance n sur n plus 1, inférieur ou égal à 1 sur n plus 1. Et là, ce qu'on va faire, c'est qu'on va minorer celui-là et majorer celui-là. Donc moins 1 sur n plus 1 est supérieur ou égal à moins 1. Parce que n, étant donné que c'est un entier naturel, n plus 1, c'est supérieur ou égal à 1. Donc ce truc-là va être en valeur, si on nommait le signe, ça va être entre 1 et 0. Et donc avec le signe, c'est plus grand que moins 1. Et dans l'autre sens, 1 sur n plus 1 est plus petit que 1. Donc finalement, on a l'encadrement, parce que ça, c'est notre suite. Ici, c'est comme si on rajoutait moins 1, c'est comme si on rajoutait 1. Donc notre suite est entre moins 1 et 1. Et donc, elle est bornée. Et c'est la réponse C. Ensuite, question 4. On nous dit, soit Vn une suite définie pour tout entier naturel, une suite définie, voilà. On suppose que V0, c'est k, et qu'on a Vn fois Vn plus 1, négatif. Donc déjà, quand on voit Vn fois Vn plus 1, négatif, ce qu'il faut se dire, c'est que on a un produit négatif. Donc un produit négatif, ça arrive uniquement quand les deux nombres qu'on multiplie sont de signes contraires. Et là, les deux nombres qu'on multiplie, c'est Vn et Vn plus 1. Mais c'est vrai pour tout n. Ça veut dire que la suite, elle est alternée dans le signe. À chaque fois, elle va changer de signe d'un terme à un autre. C'est le cas, par exemple, pour la suite qu'on vient de voir. Moins 1 puissance n sur n plus 1, c'est une suite qui va changer de signe à chaque fois. Donc là, on nous dit que c'est ce qui se passe avec la suite Vn, elle change de signe à chaque fois. Donc voilà. Mais elle change de signe à chaque fois, ça veut dire que les nombres pairs vont tous avoir le même signe, et les nombres impairs vont tous avoir le même signe. Parce que si on a un nombre pair, on a un certain signe. Le nombre d'après, on change de signe, et le nombre d'encore après, on redevient pair, mais on a le même signe que le premier nombre. Donc, étant donné que 0, c'est pair, donc V0, c'est le premier indice pair, ça vaut K. Donc V10, il est pair, donc il aura le même signe que V0. Donc le même signe que V0, c'est le signe de K. Et donc finalement, c'est la réponse C. Ensuite, on nous dit, on considère la suite Wn, définie par Wn plus 1 égale 2 Wn moins 4, et W2 égale 8. On peut affirmer que on nous propose des valeurs pour W0. Là, il faut tout simplement le calculer. W2, c'est 2 W1 moins 4. On remplace n par 1 dans cette égalité. Donc W2, on sait que c'est 8. On résout cette équation une inconnue qui est W1, ça nous fait W1 est égale à 6. Ensuite, on fait la même chose avec W1. Maintenant qu'on a trouvé W1, on sait que ça vaut 6, on fait la même chose et ça nous fait apparaître W0. On fait pareil, une équation une inconnue en W0 et on trouve rapidement que W0 vaut 5. Donc c'est la réponse B. Pour la question 6, on nous propose une suite définie par An plus 1, c'est E puissance n sur E puissance n plus 1 fois An et A0 vaut 1. Et voilà, on nous donne des affirmations sur les variations de la suite An. Donc, c'est une suite qu'on nous définit. Alors ce n'est pas une suite géométrique parce qu'ici, ce n'est pas constant. On n'a pas An plus 1 égale un nombre constant fois An. Mais du coup, on va étudier les variations en faisant An plus 1 sur An parce que An plus 1 sur An, ça va nous donner ça. Je spoil un peu mais voilà. Donc, étant donné que la fonction exponentielle est croissante et strictement positive, E puissance n, c'est strictement plus petit que E puissance n plus 1. Donc, si je divise ici, ça nous fait 0, strictement plus petit que E puissance n sur E puissance n plus 1, strictement plus petit que 1. Mais, si je passe pareil ça de l'autre côté et je fais sur An, donc ça nous fait An plus 1 sur An, et c'est exactement égal à E puissance n sur E puissance n plus 1. Ça, c'est strictement plus petit que 1. Et bien, si je me retrouve avec ça, cette inégalité, ça veut dire exactement que la suite An est décroissante, et donc, la suite décroissante, c'est la réponse B. Ensuite, la 7, donc on nous dit, une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques, qui se divisent à leur tour, et ainsi de suite. Le temps de génération, c'est le temps nécessaire pour qu'une cellule se divise en deux cellules, le temps qu'il faut pour se diviser. On a mis en culture une cellule, au bout de 4 heures, il y a 4000 cellules. Et bien, il faut trouver le temps de génération d'une cellule. On sait qu'on a n intervalles de temps de génération. Donc n, c'est le plus petit entier, tel qu'on a 2 puissance n, qui est plus grand que 4000. Pareil, on cherche n, on passe au logarithme, et donc ça nous fait n log de 2 supérieur à log de 4000, parce que le log est croissant, donc quand je l'applique ici, ça va. Je divise par log de 2. Log de 2, c'est strictement positif parce que, quand x est strictement plus grand que 1, log de x est strictement positif. Donc 2, c'est strictement plus grand que 1, donc quand je divise, ça ne change pas le sens de l'inégalité. Cette quantité, ça fait à peu près 11,97. Donc, je sais que mon n, il va être plus grand que 12. Parce que n doit être plus grand que cette quantité, qui vaut 11,97, donc n, c'est un entier, plus grand que 12. Il y a eu 12 intervalles de temps qui se sont écoulés pour atteindre 4000 cellules en 4 heures. Il y a eu 12 intervalles de temps, donc, je repasse en minutes. 4 heures en minutes, ça fait 4 fois 60. Je divise par 12, et ça nous fait 20 minutes. Donc, c'est la réponse C. Et voilà ce qui conclut cet exercice.

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