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HM Test
Dans cet exercice, nous utilisons principalement l'inégalité des pentes pour démontrer certains résultats. Tout d'abord, on suppose que la limite de la fonction f quand x tend vers l'infini est égale à 0 et l'objectif est de montrer que f est positive. Pour cela, on fait un raisonnement par l'absurde en supposant qu'il existe un x0 tel que f(x0) est strictement négatif. En utilisant la définition de la limite, on montre qu'il existe un x1 plus grand que x0 tel que f(x1) est entre f(x0) et 0. En utilisant l'inégalité des pentes, on montre ensuite que f(x) doit être strictement plus grand que f(x1), ce qui contredit la limite de f qui est égale à 0. Donc, on conclut que f ne peut pas être négative et donc pour tout x, f(x) est supérieur ou égal à 0.
Ensuite, on nous demande de montrer que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe. Pour cela, on considère une fonction g qui est la somme d'une fonction convexe f et d'une fonction affine ax + b. On veut montrer l'inégalité de convexité, c'est-à-dire que g(tx + (1-t)y) est inférieur ou égal à t*g(x) + (1-t)*g(y) pour tout t entre 0 et 1. En remplaçant g par son expression, on simplifie l'expression et on utilise la convexité de f pour montrer que g(tx + (1-t)y) est inférieur ou égal à t*f(x) + (1-t)*f(y). On regroupe les termes qui nous intéressent et on conclut que g est convexe.
Enfin, on suppose que la courbe représentative de f admet une asymptote et on souhaite montrer que la courbe est toujours au-dessus de cette asymptote. On pose y = x + b comme équation de l'asymptote de f et on définit g(x) comme la différence entre f(x) et ax + b. On utilise le principe de l'asymptote pour montrer que la limite de g(x) quand x tend vers l'infini est égale à 0. En utilisant la question précédente, on conclut que g est une fonction convexe et comme sa limite est égale à 0, g est positive. Cela signifie que pour tout x, f(x) est supérieur ou égal à ax + b, ce qui montre que la courbe de f est toujours au-dessus de son asymptote.
En résumé, nous avons démontré trois résultats dans cet exercice. Tout d'abord, si la limite de f en l'infini est égale à 0, alors f est positive. Ensuite, la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe. Enfin, si la courbe représentative de f admet une asymptote, alors la courbe est toujours au-dessus de cette asymptote.
