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Corrigés de BAC

Bac Physique-Chimie

Métropole 1

Le cours porte sur le refroidissement d'un fer à cheval. Il comprend deux parties : le chauffage du fer et le refroidissement du fer. 
Dans la première partie, on détermine la masse du fer à cheval en utilisant la masse volumique du fer. Ensuite, on calcule la variation d'énergie interne du fer lors du chauffage. On interprète cette variation comme une augmentation de l'énergie cinétique microscopique des atomes de fer.
Dans la deuxième partie, on étudie le refroidissement du fer à l'air libre et dans l'eau. On utilise le premier principe de la thermodynamique pour obtenir une équation différentielle qui régit l'évolution de la température lors des pertes thermiques. On vérifie si une fonction proposée est solution de cette équation. On calcule ensuite la valeur de la température du fer lorsqu'il est posé sur la face intérieure. Enfin, on analyse les résultats et on propose des raisons pour lesquelles le modèle utilisé pour le refroidissement dans l'eau ne semble pas cohérent, en citant notamment les pertes de chaleur par rayonnement et les variations de température de l'eau.

Bonjour à tous, c'est Leïla pour Studio. Aujourd'hui on va s'intéresser à l'exercice B du sujet qui est tombé l'année dernière en métropole, qui porte sur le refroidissement d'un fer à cheval. Donc ici c'est un sujet qui porte sur un refroidissement, donc on vous donne les mots clés ici, c'est évidemment de la thermodynamique et des lois sur les échanges thermiques. Donc on va voir ce dont il retourne, l'idée c'est qu'on a un maréchal ferrant qui travaille dans le ferrage des chevaux et on va s'intéresser à la pose du fer et tous les échanges thermiques qui sont liés à ça. Donc on vous donne pas mal de données, ici je ne vais pas les détailler tout de suite, on y reviendra au fur et à mesure du sujet et on va directement commencer la première partie qui porte sur le chauffage du fer. Donc vous voyez que lors du chauffage, la température passe de θx de 15 degrés à θ0 égale 900 degrés. La première question, une question préliminaire, on demande de déterminer la masse Mfer du fer à cheval. Pour ça, il faut utiliser les informations qu'on nous donne, vous voyez qu'on nous dit ça sur les fers, on nous donne le volume et la masse volumique du fer, donc tout simplement on utilise le fait que la masse volumique rho c'est M sur V, donc on peut trouver comme ça que Mfer c'est rho fois Vfer et on trouve 818 grammes. Ensuite, on nous demande de calculer la variation d'énergie interne ΔU du fer à cheval lors de cette étape. Donc ΔU, on sait que c'est relié directement à la température, donc l'expression qu'on appelle la loi de Joule, c'est ΔU égale mc Δθ, et donc ici on précise bien que Δθ c'est la variation de température, donc entre θ extérieur, la température initiale, et θ0, la température finale. Ici, on trouve 319 kJ. Alors vous avez remarqué, les températures elles sont données en Celsius, et vous vous souvenez que les Celsius ce n'est pas l'unité du système international, donc en règle générale il faut convertir les Celsius en Kelvin. Ici je ne l'ai pas fait, pourquoi ? Parce qu'en fait on a une différence de température, et vous savez que les différences de température ce sont les mêmes qu'on parle en Kelvin ou en degrés. Donc voilà, ce n'est pas la peine de toujours vous embêter avec les conversions, dans certains cas, dans le cas de la loi de Joule en particulier, on n'a pas besoin de faire la conversion en Kelvin. Dans la question 3, on nous demande d'interpréter ce que ça veut dire au niveau microscopique. Donc là déjà on remarque que ΔU est positif, c'est-à-dire que l'énergie interne augmente. À quoi c'est dû ? Vous savez que l'énergie interne c'est une grandeur thermodynamique, et au-delà de la grandeur thermodynamique, ça veut dire quelque chose au niveau microscopique. En fait tout ce qu'on appelle les grandeurs thermodynamiques, c'est la manifestation de ce qui se passe au niveau microscopique, mais en termes de température, énergie interne, etc. Qu'est-ce que ça veut dire si l'énergie interne augmente ? Ça veut dire que l'énergie cinétique microscopique augmente. Donc qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que mes atomes de fer s'agitent de plus en plus. Ça c'est toujours la même interprétation quand on parle d'énergie interne. Si ça augmente, j'ai plus d'agitation thermique au niveau microscopique, et si ça diminue, j'en ai moins. On passe maintenant à la partie 2 qui porte sur le refroidissement du fer. Là on l'a fait chauffer, et ensuite qu'est-ce qu'on fait ? Lorsqu'il est à la bonne température, le maréchal Ferrand le sort de la forge et le façonne, pendant à peu près une minute. Là on vous donne la temporalité, il s'installe près du cheval, il attend encore une minute, et ensuite il le pose quelques secondes sur la face inférieure du sabot, et on vous dit que ça brûle un peu la corne et que ça laisse une petite trace. On va s'intéresser à ce refroidissement. Tout d'abord, on regarde le refroidissement à l'air libre. On considère que les transmers thermiques entre le fer à cheval et le milieu extérieur sont loin de Newton, qu'on vous redonne au début, et on dit d'appliquer le premier principe de la thermodynamique pour le système étudié, entre deux instants infiniment proches qui sont T plus delta T, où delta T est très faible. Le but de tout ça, c'est d'obtenir une équation que vous avez déjà vu pas mal de fois, qui est l'équation différentielle qui régit l'évolution de la température, dans le cas où on a des pertes de style loi de Newton. Quand on applique le premier principe, ce qui est important c'est d'être précis, c'est de la même manière que quand on applique le principe fondamental de la dynamique, il faut bien préciser à chaque fois les systèmes, les bilans, etc. Là, le système qu'on regarde, c'est évidemment le système fer à cheval, qui est au repos, c'est-à-dire qu'il n'a pas de variation d'énergie potentielle ni cinétique, et on applique le premier principe de la thermo, qui est delta U égale W plus Q. On considère que le système n'échange pas de travail avec l'extérieur, et donc que delta U est uniquement lié au transfert thermique Q, donc ça nous permet de faire le lien entre la loi de Joule qu'on a déterminée avant. Donc si je regarde entre deux instants infiniment proches, je peux écrire delta theta comme theta en T plus, alors pardon j'ai écrit DT, mais c'est vrai que là la notation c'était petit delta T, moins theta de T. Donc là je peux exprimer, je peux passer au flux thermique. Donc le flux thermique, qu'est-ce que c'est ? C'est Q sur delta T. Donc là c'est pratique pour moi, vous voyez qu'en fait je vais faire le lien avec la loi Newton, j'ai exprimé phi de deux manières différentes, et donc je sais que phi c'est HRS theta hexte moins theta. Vous voyez j'ai ça, là je vais faire le lien avec Q, et avec Q je vais le remettre dans le premier principe et l'exprimer en fonction de la température. Vous voyez que j'ai tout ce qu'il me faut, il suffit que je mette tout en forme, et donc ça me donne Mfert Cfert delta theta sur delta T est égal à HRS theta hexte moins theta, et donc là je peux isoler ce delta theta sur delta T. Donc je l'ai juste mis de ce côté-là, j'ai divisé par Mfert Cfert, et donc ça me donne, si je fais tendre delta T vers zéro, ça me donne en fait la dérivée, tout ça, et je retrouve l'équation différenciée soit bonne forme. Là je remarque le 1 sur tau, qui est ici, et qui est HRS sur Mfert Cfert. Donc on trouve la bonne équation, c'est rassurant. Ensuite on nous demande de vérifier que la fonction proposée est bien solution de l'équation différentielle dont on nous parlait. On vous donne une solution sous cette forme-là. Donc quand on vous dit vérifier que la fonction proposée est bien solution de l'équation différentielle, il y a plusieurs techniques. La première technique c'est on prend l'équation différentielle et on essaye de la résoudre, comme si on ne connaissait pas la solution. L'autre technique que je trouve un peu plus simple, c'est de partir de ce qu'on vous donne et de vérifier si je la fais rentrer dans l'équation différentielle, ça marche. Donc pour ça, il faut que je calcule la dérivée ici, dtheta sur dt. Pour dériver ça, on a une constante qui dérive et donne zéro. Là on a E-T sur tau, la dérivée de ça c'est moins 1 sur tau, E-T sur tau. Faites attention lorsque vous dérivez des fonctions composées, vous avez ce moins 1 sur tau qui va apparaître. Donc si j'exprime dtheta sur dt plus theta sur tau, ce qui est le premier membre de notre équation différentielle, je vois ici que ça va s'annuler et il va rester theta-ext sur tau. Donc c'est bien la preuve que l'expression proposée est bien solution de l'équation différentielle. La méthode que j'ai appliquée c'est prendre la forme qu'on nous donne et la faire entrer de force dans l'équation différentielle et voir si ça marche bien. En l'occurrence ça marche bien. Ensuite dans la question 6, on nous demande de calculer la valeur de la température du fer au moment où le maréchal Ferrand le pose sur la face intérieure. Et donc là il faut juste appliquer dans la solution qu'on nous propose le temps qu'on veut. Donc vous vous souvenez, on a dit que le maréchal Ferrand s'occupe du fer pendant une minute, ensuite il attend encore une minute avant de le poser sur le cheval. Donc ça nous donne une température T de 120 secondes. Et donc avec ça, je tombe sur une température de 787 degrés celsius. Et donc là, à ce moment là, vous voyez que c'est quand même une température assez élevée. Donc à ce moment, on vous dit que la corne du cheval est brûlée et on précise évidemment que ce n'est pas douloureux pour le cheval. Donc c'est un commentaire qu'on peut faire, que c'est normal qu'il y ait cette brûlure. Enfin, dans une dernière sous-partie, on s'intéresse à une autre méthode de refroidissement qui est le refroidissement dans l'eau. Vous voyez, on a déjà fait le cas de l'air, ensuite on fait le cas de l'eau. Et donc dans la question 7, d'abord pour le contexte, on vous dit que le fer encore chaud qui est à 600 degrés, on le met dans un récipient qui contient de l'eau à une température de 15 degrés, qu'on considère comme constante. Donc on demande de prendre le même modèle que dans le cas précédent et on veut savoir à partir de combien de temps il faut qu'on laisse le fer dans l'eau pour qu'il arrive à 40 degrés. Donc là, je peux reprendre directement le modèle précédent. La seule chose qu'il faut que je modifie, c'est ce taux, qui va être le taux de l'eau et qui va changer, qui va prendre en compte le coefficient H dans la loi de Newton pour l'eau. Donc à Privéry, si je regarde le taux de l'eau, je calcule et je trouve 34,1 secondes, ce qui est très petit devant le taux de l'air, ce qui est assez cohérent, ça veut dire qu'on a beaucoup plus d'échanges avec l'eau et donc, naturellement, que ça va nous mettre moins de temps de refroidir le fer dans ces conditions-là. Donc on cherche l'instant auquel on atteint la température finale, donc ça c'est l'équation qu'on cherche à résoudre, θ final égale θ de TF. Donc j'injecte dans mon équation, dans la forme de ma solution, et donc là il faut que j'isole ensuite, moi ce que je veux isoler c'est TF, donc il faut que j'y aille petit à petit. Ici je passe Thext de l'autre côté, ensuite je divise tout par θ0-Thext et après j'ai l'exponential, donc il faut que je passe au ln. Là j'ai utilisé le fait que ln de a sur b, c'est moins ln de b sur a, donc il y a un signe moins qui était là, que j'ai fait disparaître en inversant ici le numérateur, le dénominateur, mais bon si vous voulez ça en signe moins c'est pas trop grave, vous tombez bien sur le même résultat, c'est juste pour qu'on soit d'accord sur ce qui s'est passé là. Et ensuite je trouve TF, là, qui est toln de θ0-θhext sur θ final-θhext, et je trouve 108 secondes. Et donc finalement on nous dit qu'en fait en réalité il suffit de 20 secondes pour refroidir le fer, ce qui est très petit devant ce qu'on trouve, et on nous demande de faire un commentaire. Alors vous savez quand on vous demande des commentaires comme ça en fin d'exercice c'est plutôt des questions de validation du modèle ou d'invalidation au contraire du modèle, donc là à priori vous voyez que mon modèle n'est pas validé, je suis à 108 secondes ici alors que je devrais être à 20 secondes, donc il faut trouver des raisons qui expliquent que mon modèle n'est pas cohérent. Il y a plusieurs choses possibles, j'ai mis plusieurs points. Le premier point c'est peut-être que les échanges entre le fer et l'eau ne suivent pas tout à fait la loi de Newton. La loi de Newton elle est liée aux pertes conducto-convectives, c'est à dire si j'ai des mouvements, que ce soit des mouvements d'air, d'eau, etc. Et donc on peut imaginer que le fer perde la chaleur par un autre moyen, et le dernier moyen qui reste c'est le rayonnement. Donc c'est possible, on n'a rien dans le sujet qui nous permet de justifier cette hypothèse ou pas, mais c'est une possibilité qui mérite d'être énoncée. Ensuite une autre possibilité qui est peut-être un peu plus probable ou facile à vérifier, c'est la température de l'eau. On a supposé dans toute cette étude que l'eau c'est un thermostat, que l'eau était à la même température, or selon la quantité d'eau qu'on utilise c'est pas évident. Vous voyez si je le plonge dans un lac ça va, mais si je le plonge dans un bassin d'eau, on imagine très bien que si je mets un fer à à peu près 800 degrés dans un baquet ou un grand contenant d'eau, peut-être que l'eau va un peu chauffer. Et donc ça changerait beaucoup les lois qu'on a utilisées, parce qu'on a considéré que la température était constante. Un dernier point qui va un peu dans ce sens-là, c'est qu'on peut aussi imaginer que la température de l'eau elle change, et elle change tellement qu'elle peut même changer d'état et se vaporiser, donc prendre une forme de vapeur. Dans ces cas-là, ce serait un changement d'état qui demanderait beaucoup d'énergie, et ça pourrait expliquer aussi la modification de la température, enfin pas de la température, pardon, du temps qu'il faut pour refroidir mon fer. Donc vous voyez là, j'ai fait trois hypothèses, vous n'êtes pas spécialement obligé d'en faire autant, si déjà vous avez une ou deux idées c'est pas mal. Donc essayez de réfléchir, de remonter en fait dans le sujet aux hypothèses qui ont été faites, et de voir si elles sont raisonnables ou pas, et peut-être d'expliquer dans quel cas elles ne seraient pas raisonnables. Donc voilà, trois points possibles. J'espère que ça vous aura été utile, n'hésitez pas à poser vos questions en commentaire, et on se retrouve bientôt pour finir ce sujet avec l'exercice C.

Refroidissement d’un fer à cheval

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