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Physique-Chimie

Physique

Inductance propre, inductance mutuelle

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique le concept d'autoinductance et d'inductance propre d'une bobine longue. Il commence par modéliser la bobine par un solénoïde, dans lequel les effets de bord sont négligés. Le champ magnétique à l'intérieur de la bobine est défini comme étant égal à μ0N/LI, où μ0 est la permittivité du vide, N est le nombre de spires et L est la longueur du solénoïde. Ensuite, il détermine le flux propre de la bobine en utilisant l'intégrale du champ magnétique sur toute la surface de la bobine, ce qui donne μ0N²S/LI. À partir de là, il définit l'auto-inductance L comme étant le flux propre divisé par le courant, soit μ0N²S/L. En appliquant la loi de Faraday, il obtient l'équation différentielle du courant de la bobine en fonction de la force électromotrice E0, soit dI/dt + (R/L)I = E0/L. Il explique ensuite l'effet de l'auto-inductance sur la variation du courant et conclut en analysant le bilan de puissance du circuit, où la puissance délivrée par le générateur peut être dissipée par effet Joule ou stockée sous forme d'énergie magnétique dans la bobine.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo, on va parler d'autoinductance, d'inductance propre, mais dans le cas d'une bobine longue. Alors, on étudie ici une bobine longue, dont la longueur L est très supérieure à son rayon. Elle possède n-spire d'axe EZ, de surface S, et puis un courant d'intensité I parcourt la bobine. D'ailleurs, on remarque qu'il vérifie la règle de la main droite, ça nous arrange. Première question, on modélise la bobine par un solénoïde, que néglige-t-on ? Alors, le solénoïde, on a en tête que c'est un dipôle parfait en électricité. Donc en fait, remplacer la bobine par un solénoïde, c'est négliger les effets de bord. On considère que le champ magnétique est uniforme au sein de la bobine, lorsqu'on la remplace par un solénoïde, ce qui n'est pas le cas. En fait, lorsqu'on étudie de manière standard, classique, une bobine, on a des variations suivant la distance à l'axe. Alors, deuxième question, donner l'expression du champ au sein de la bobine. Alors ça, c'est tout simplement une définition qu'il faut apprendre, qu'il faut connaître. Donc, on peut la poser juste ici. Le champ magnétique au sein d'une bobine, si la longueur L du solénoïde est grande devant le rayon de Cm spire, c'est ici le cas, le champ régnant à l'intérieur, et bien, c'est le champ magnétique B, qui est égal à μ0, fois N divisé par L, I, fois ul, ul étant donné par la règle de la main droite. Donc ici, bien sûr, on a juste à remplacer ul par uz, comme on l'avait vérifié. Donc, μ0, la permittivité du vide, grand N, le nombre de spires, et puis L, la longueur du solénoïde. Voilà, c'est une définition qu'il faut connaître. Question 3, déterminer ainsi le flux propre. Alors, on voit où ça peut nous venir. Donc, le flux du champ magnétique à travers la bobine en elle-même, ce qu'on appelle le flux propre, et bien, on a tout simplement, c'est un calcul de flux classique, c'est tout simplement dire un flux propre, c'est considérer le flux du champ magnétique qui est créé par le dipôle en lui-même. Donc, le flux propre, ici, attention, il y a N spires, donc à la fois, il y a N spires, donc il y a N fois plus de spires pour créer du champ magnétique, mais il y a aussi N fois plus de spires en termes de surface à traverser par ce même champ magnétique. Donc, c'est pour ça qu'il intervient deux fois. Ici, il intervient à la fois dans le champ magnétique et à la fois dans le calcul du flux. Il faut bien faire attention à ça. Et donc, c'est N fois l'intégrale sur toute la surface d'une spire du champ magnétique B fois, bien sûr, le petit vecteur surface dS. Et donc, ici, B, il est uniforme, en tout point, donc on a tout simplement à multiplier par S et faire un produit scalaire qui est dans le même sens, donc c'est tout simplement mu0 N carré, attention, je réinsiste encore une fois, fois S divisé par L fois I. Voilà le flux propre. Et donc, maintenant qu'on a le flux propre, on peut déterminer l'auto-inductance L juste ici, sachant qu'elle nous est donnée par la formule de la loi de Faraday. On définit l'auto-inductance comme le flux propre qui est égal à L fois I. Voilà la manière dont est définie l'auto-inductance L, dont on parle en fait depuis des mois, mais là on la définit clairement, c'est tout simplement le facteur multiplicatif entre le flux propre généré par la bobine fois le courant ici qui la traverse. Et donc, par identification qu'on a juste au-dessus, on a l'auto-inductance d'une bobine, c'est mu0 N carré S divisé par L. Voilà, c'est assez beau de déterminer enfin cette grandeur dont on parle depuis tant de temps, et ici, on l'a clairement explicité. Alors, question 5, retrouver la loi de comportement de la bobine. Eh bien, la loi de comportement, bien sûr, on doit déterminer la force électromotrice en appliquant la loi de Faraday, c'est tout simplement moins la dérivée du flux du champ magnétique par rapport au temps, et donc ici, la force électromotrice, tout simplement moins L déduit sur dt, on retrouve la loi de comportement de la bobine en convention générateur. Voilà, c'est assez beau de le redémontrer. Alors, c'est parti, on va mettre ça en application en considérant un circuit. On suppose désormais que la bobine est alimentée par un générateur de force électromotrice E0 de t, on ne néglige pas la résistance interne de la bobine, il faut déterminer l'équation différentielle vérifiée par I en fonction de E0. Alors ici, on se souvient, on a déterminé une force électromotrice équivalente avec ces phénomènes d'induction, donc tout simplement, il faut faire un schéma électrique équivalent, comme d'habitude, et poser la loi des mailles, juste ici, donc E0 de t, c'est égal à L déduit de t sur dt plus R I de t, on obtient donc l'équation différentielle vérifiée par le courant, déduit sur dt en fonction du temps, plus R sur L I de t, est égal à E0 de t divisé par L, voilà l'équation différentielle, l'équation assez classique. Et donc maintenant, dans le cas où E0 augmente, il faut expliquer l'évolution de l'intensité sans prendre en compte l'auto-inductance, donc si on avait simplement une résistance juste ici, donc dans le cas où L égale 0, qu'est-ce qu'on a ? On a I de t qui est égal à E0 de t sur R, donc ici c'est assez simple de déterminer les variations, si E0 augmente, l'intensité du courant est de plus en plus importante. Mais maintenant, quel est l'effet de l'auto-induction ? Au vu de la loi de Lenz, on a vu, s'il n'y avait pas ce phénomène d'auto-inductance, le courant augmenterait tout simplement, mais la loi de Lenz, qu'est-ce qu'elle nous dit ? C'est la loi des enfants terribles, on se souvient, d'après la loi de Lenz, le phénomène d'auto-induction va s'opposer à cette augmentation, il va freiner la variation juste ici qui est imposée par la force électromotrice, la force électromotrice va vouloir faire augmenter l'intensité du courant, la bobine va être là, pour freiner un peu cette variation, elle va s'opposer à ce changement juste ici. Et finalement, question 9, réaliser et analyser le bilan de puissance de circuit, donc on a tout simplement à multiplier l'équation électrique juste ici par le courant en question dans le circuit, donc finalement, E fois I nous donne L I D2I sur DT plus R I carré est égal à E0 fois I2T, et donc ici on a tout simplement à passer en termes de puissance, on a la puissance délivrée par le générateur, c'est tout simplement la puissance dissipée par effet Joule plus la variation d'énergie stockée dans la bobine par rapport au temps, donc on peut faire la petite phrase de conclusion, la puissance délivrée par générateur est soit dissipée par effet Joule, soit stockée sous forme d'énergie magnétique au sein de la bobine. Voilà, on a bien fait le tour de cette notion d'auto-inductance dans le cadre d'une bobine, on a déterminé en plus explicitement ce qu'était ce coefficient d'auto-inductance L dont on a entendu parler depuis des mois, donc voilà, c'est un exercice assez complet sur le calcul de flux, la notion de flux propre, n'hésitez pas à le reprendre, en tout cas, merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis à bientôt !

Bobine longue

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