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Défs Dénombrement et liste

Ce cours présente des exemples de dénombrement. Dans le premier exemple, on doit déterminer le nombre de résultats possibles pour lancer une pièce 7 fois de suite. En se posant les questions « est-ce que c'est une liste ou un ensemble? » et « est-ce que l'ordre compte? », on conclut que l'ordre compte et qu'on peut répéter les résultats. Ainsi, le nombre de tirages possibles est de 2 puissance 7.Dans le deuxième exemple, on doit déterminer le nombre de distributions possibles pour deux joueurs de domino recevant 7 dominos chacun parmi les 28 dominos du jeu. En considérant que l'ordre compte, le nombre de listes possibles est de 28 x 27 x 26 ... x 15 x 14. Une autre façon d'exprimer cela est 28! sur 14!.Dans le dernier exemple, on dispose de 4 gâteaux et 4 invités, et il faut attribuer un gâteau à chaque invité. Avec l'ordre compte et sans répétition, le nombre de façons de procéder est de 4!.Pour dénombrer, il faut se poser les questions « est-ce que j'ai l'ordre compte ou ne compte pas? » et « est-ce que je peux avoir répétition? ».

Désormais on va commencer à dénombrer des résultats et on va illustrer ça à travers des petits exemples. Premier petit exemple, on lance un classique, on lance une pièce pile au face, et 7 fois de suite, on veut déterminer le nombre de résultats. Donc là, on se demande, il faut toujours se poser deux questions. Il y a deux questions, la première c'est, est-ce que c'est une liste ou un ensemble? Est-ce que l'ordre compte? Et ensuite, est-ce que je peux répéter plusieurs fois un résultat? Là, c'est pas très clair d'en énoncer, mais là, clairement, quand on dit le nombre de résultats possible, si je fais face pile pile, c'est pas pareil que pile pile face. Donc on déduit que ce qui compte c'est des listes, l'ordre compte. Et bien sûr qu'on peut répéter, finalement on a un tirage, ce qu'on appelle un tirage par avec remise, c'est pas parce que j'ai tiré face une fois que je peux pas le retirer après. Donc finalement, le nombre de tirages possibles, c'est 2 à chaque fois, 2 x 2 x 2 x 2, 7 fois, donc ça fait 2 puissance 7. Pour le deuxième exemple, on a deux joueurs qui jouent domino recevant 7 dominos au hasard, parmi les 28 dominos du jeu. Combien de distributions sont possibles? Là aussi, quelque part, la question n'est pas hyper claire, puisque pour les dominos, ce qui compte c'est l'ensemble qu'on a, peu importe l'ordre de mes dominos. Mais là, comme ils disent qu'ils reçoivent 7 dominos, tous entendus un par un, ici on va chercher des listes, on va considérer que l'ordre compte. Le nombre de listes possibles, c'est quoi, j'ai 28 dominos pour le premier tirage, par contre là il n'y a pas de répétition, je ne peux pas avoir deux fois le même domino, donc c'est 28, ensuite il en reste 27, 26, etc. pour les 2 x 7 dominos à tirer, c'est-à-dire 14. Petite astuce pour savoir jusqu'où on va, là ça va jusqu'à 15, en fait ici c'est 28-14, plus 1, pour pas oublier le plus 1. Pourquoi? Parce qu'ici je suis à 28-0, là je suis à 28-0, ici je suis à 28-1, etc. jusqu'à 28-14+. Une autre façon simple de l'exprimer, c'est comme ça, c'est dire, c'est 28! sur 28-14! Et donc là, il se trouve que 28-14 ça fait aussi 14, donc ça fait 28! sur 14! pour pas écrire trois petits points partout, donc cette notation là est préférable. Ensuite, dernier exemple, on dispose de 4 gâteaux, 4 invités, le premier a le choix possible. Donc chaque invité va avoir un gâteau, et donc là c'est pareil, il n'y a pas de répétition possible, l'ordre compte, parce que les 4 gâteaux seront attribués, il faut savoir quel gâteau va à qui. Donc pour le premier, on dit qu'il y a un invité numéro 1, numéro 2, numéro 3, numéro 4, et 4 gâteaux pour le premier, ensuite une fois qu'il l'a choisi, il en reste 3 pour le deuxième, 2 pour le troisième, et 1 pour le dernier. Donc ça nous fait bien 4! Donc voilà, quand on commence à dénombrer, il faut se poser deux questions là, est-ce que j'ai l'ordre compte ou ne compte pas, et est-ce que je peux avoir répétition? Si vous avez des questions, allez voir la FAQ.

Dénombrer des ensembles simples

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