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Primitives & EDL : Sujets d'écrits

Dans ce cours, Mathis de Studio résout un problème de Cauchy sur les équations différentielles. Le problème est y' plus 1 plus my' plus my est égale à 2m exponentielle de mx avec y' qui est égal à y' qui est égal à 0 selon les valeurs du paramètre m réel. En analysant cette équation, Mathis détermine qu'il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficient constant, qu'il résoud en commençant par la résolution de l'équation homogène. Il trouve deux solutions homogènes possibles et cherche ensuite une solution particulière en fonction de la valeur de m. Il évalue ensuite les valeurs de lambda et mu en utilisant les conditions initiales pour trouver la solution du problème de Cauchy. Il effectue une disjonction de K en fonction de la valeur de m dans chaque cas pour trouver l'unique solution. Mathis conclut en recommandant de faire un tableau récapitulatif pour montrer que l'on comprend bien le problème et pour mettre le correcteur en confiance.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio et aujourd'hui on va faire un exercice de préparation pour les écrits sur les équations différentielles. Alors on nous demande de résoudre le problème de Cauchy suivant, C qui est à la fois y' plus 1 plus my' plus my est égale à 2m exponentielle de mx avec y' qui est égal à y' qui est égal à 0 selon les valeurs du paramètre m réel. Alors comment est-ce qu'on appréhende ça? C'est donc un problème de Cauchy paramétré mais c'est un paramètre qui est réel donc si on regarde cette équation il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficient constant. Donc ça tombe bien vu que on sait la résoudre. On sait que très souvent quand il y a un paramètre on va y avoir à un moment une disjonction de K à faire mais bon là elle n'intervient pas tout de suite, on se doute qu'elle va intervenir à un moment et on s'y prépare. Pour l'instant c'est une résolution totalement classique donc qui commence par la résolution de l'équation homogène. Alors c'est y' plus 1 plus my' plus my qui est égal à 0. L'équation caractéristique on la repère c'est r² plus 1 plus m, r plus m est égal à 0 et le discriminant justement c'est égal à m moins 1 au carré. Et justement tout dépend du signe du discriminant. Alors justement son signe il est de 0 quand m vaut 1 et autrement il est toujours positif. Mais il y a quand même déjà une disjonction de K suivant la valeur de m puisque ça va engendrer une résolution différente. Donc tout d'abord si m est égal à 1 et bien delta est égal à 0 donc la seule racine réelle elle est double et elle est égale à moins 1. D'où la solution homogène c'est x associé lambda x plus mu exponentiel de moins x avec lambda et mu appartenant à r. Maintenant si m est différent de 1 et bien le polynôme est strictement supérieur à 0 et donc on a les deux racines réelles moins 1 et moins m. D'où la solution dans le deuxième cas qui est x associé gamma exponentiel moins x plus sigma exponentiel moins mx avec gamma et sigma appartenant à r. Alors maintenant on va chercher une solution particulière puisque maintenant qu'on a trouvé les deux solutions homogènes possibles, or ici on remarque bon ok il y a un facteur devant l'exponentiel, c'est pas grave il est réel, par contre en résolution d'exponentiel on doit regarder le facteur qu'il y a devant x dans l'exponentiel. Et là si m, ça tombe mal vu qu'il ne faut pas qu'il intervienne, il ne faut pas, enfin c'est pas qu'il ne faut pas, c'est que des fois il est solution ou non de l'équation caractéristique et du coup les formes des solutions qu'on va rechercher dépendent de ça. Alors il y a encore une digestion de cas à faire à l'intérieur. En effet il peut valoir par exemple ici moins 1 qui serait la solution de l'équation ici homogène ici et homogène ici. Donc à ce moment là si m est égal à 1, et bien m n'est pas solution de l'équation caractéristique, d'où si on pose ys qui est la fonction qui a x associé à exponentiel x, et à ce moment là ys est solution si s est égale à 1,5. Donc ys est la fonction qui a x associé à 1,5 de exponentiel x, c'est la solution particulière de E. A ce moment là, les solutions possibles suivant la valeur de m qui est égale à 1, c'est y qui a x associé, alors on reprend la bonne solution homogène, c'est lambda x plus mu exponentiel moins x plus 1,5 de exponentiel x. Maintenant on peut appliquer les conditions initiales, pour ça on doit calculer la dérivée première et puis évoluer en 0 dans un cas et en 0 dans l'autre, pour en déduire les deux coefficients, mu est maintenant fixé à moins 1,5 et lambda à moins 1. Donc la solution du problème de Cauchy dans le cas m égale 1, c'est la fonction qui a x associé moins x plus 1,5 exponentiel moins x plus 1,5 de exponentiel x. On continue, si m est différent de 1, tout dépend du fait que m soit solution de l'équation caractéristique ou non. Or les autres solutions possibles c'est moins 1, donc si m est égal à moins 1, m est racine de l'équation caractéristique. Donc on doit poser ys avec un x avant l'exponentiel moins x. Puis on calcule la dérivée première et seconde, et à ce moment là, ys est solution si et seulement si a est égal à 1. Donc la fonction qui a x associé x exponentiel moins x est une solution particulière de E. Puis y, c'est donc la somme de la solution particulière et de la solution homogène, c'est donc gamma exponentiel moins x plus sigma exponentiel x plus x exponentiel moins x, et là on peut appliquer les conditions initiales en dérivant et en évaluant. On en déduit les différentes valeurs de gamma et sigma, il n'y a plus de degrés de liberté. Et donc la solution du problème de Cauchy, quand m est égal à moins 1, c'est x associé x plus 1 demi de exponentiel moins x moins 1 demi de exponentiel x. Le dernier cas qui nous reste, c'est lorsque m n'est ni égal à 1 ni égal à moins 1, et donc m n'est pas solution de l'équation caractéristique, donc on peut poser simplement comme la dernière fois a exponentiel mx, on dérive deux fois, on injecte pour au final trouver a qui est égal à 2 sur m plus 1. Maintenant la solution que l'on forme c'est celle-ci, on l'évalue à l'aide des conditions initiales pour au final trouver la solution dans le cas m est différent de 1 et de moins 1, c'est x associé 4m sur m carré moins 1 exponentiel moins x moins 6m plus 2 sur m carré moins 1 exponentiel moins mx plus 2 sur m plus 1 exponentiel mx. D'ailleurs on remarque que cette fonction, elle interdit le fait que m vaille 1 ou moins 1. Donc c'est pas mal, ça aurait été un moyen de vérification si par exemple on n'avait pas vu un des cas différents, on aurait dû se méfier, m carré moins 1 alors que j'ai pas vu de cas qui interdisait que ce soit 1 ou moins 1, il y a un problème. Bon ici on avait bien tout prévu, et donc on peut faire un tableau récapitulatif, à chaque fois suivant la valeur de m, quelle est l'unique solution du problème de Cauchy? Alors pour 1, moins 1 et n'importe quelle valeur réelle, entre moins 1, enfin n'importe quelle valeur réelle excepté moins 1 et 1. C'est bien de faire des tableaux récapitulatifs qui montrent que vous êtes clair dans votre tête, et ça mêle le correcteur dans de bonnes conditions, surtout si c'est au début par exemple de l'écrit, ça le met en confiance. Il montre que vous êtes quelqu'un d'organisé et qu'il sait ce qu'il fait. Merci beaucoup d'avoir suivi cet exercice, très plaisant, j'aime bien les travaux sur les paramètres, il faut pas en avoir peur, c'est des disjonctions de cas qui arrivent à un moment dans l'exercice, et il faut les accueillir et traiter en conséquence. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt!

Centrale : Pb de Cauchy ordre 2

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