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Fonctions (0) : Généralités

Dans ce cours, Corentin explique comment montrer que f peut être écrite de manière unique comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Pour cela, il utilise un raisonnement par analyse synthèse qui consiste à supposer d'abord que f s'écrit ainsi, pour trouver ensuite les formes des fonctions paire et impaire. Enfin, il montre que ce couple de fonctions est unique en jouant avec la parité et l'imparité. En résumé, f peut être écrit de manière unique comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, avec g de x = f(x)+f(-x)/2 et h de x = f(x)-f(-x)/2.

Salut à tous, c'est Corentin. On se retrouve aujourd'hui pour une nouvelle vidéo sur un exercice vraiment important à maîtriser si on veut bien comprendre le raisonnement par analyse synthèse. Alors cet exercice, quel est-il? On se donne f, une application de R dans R, et notre objectif est de montrer que f s'écrit de manière unique comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Ces deux mots, manière unique, doivent nous rediriger instantanément vers un raisonnement par analyse synthèse. Un raisonnement par analyse synthèse, c'est un raisonnement qui se décompose en deux temps. En premier temps, l'analyse va consister à supposer que oui, f s'écrit bel et bien comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, et de trouver la forme que prennent ces deux fonctions f et g, paire et impaire. Enfin, la synthèse va consister à montrer que ce couple de fonctions paire et impaire est unique. Commençons donc par notre analyse. Soit g, une fonction paire, et h, une fonction impaire, telle que f est égale à g plus h. Soit x dans le domaine de définition de f. On a donc le droit de dire que f de x est égale à g de x plus h de x, et que f de moins x est égale à g de moins x plus h de moins x. Là j'espère que j'ai perdu personne. A partir de là, par parité de g et imparité de h, on a le droit de sortir les moindres des deux fonctions. Et on se retrouve alors avec un système linéaire à deux inconnus à résoudre. On trouve que g de x est égale à f de x plus f de moins x sur 2, et que h de x est égal à f de x moins f de moins x sur 2. Attaquons-nous maintenant à la synthèse. Soit g1, g2, et h1, h2, deux fonctions paire et impaire, telles que pour toutes x dans le domaine de définition de f, f de x est égal à g1 de x plus h1 de x, et f de x est égal à g2 de x plus h2 de x d'autre part. Et là encore une fois, le jeu va consister à jouer avec la parité de g et l'imparité de h. Puisque alors, on peut dire que f de x est égal à g1 de x plus h1 de x, f de moins x est égal à g1 de x moins h1 de moins x d'une part, et d'autre part, le même système linéaire mais pour g1, 10, 2 et h1, 10, 2. En résolvant ces deux systèmes linéaires, on trouve bel et bien que g1, 10, 1 est égal à g1, 10, 2 de x est égale à f de x plus f de moins x sur 2, et h1, 10, 1 est égal à h1, 10, 2 de x est égal à f de moins x moins f de moins x sur 2. On a donc bien le couple g, h qui est unique, puisque quand on prend deux fonctions h et deux fonctions g, on trouve que c'est les mêmes. Conclusion, f se décompose bel et bien de manière unique, comme la somme d'une fonction de paire g et d'une fonction à paire h, en prenant pour toute x dans le domaine de définition de f, g de x est égal à f de x plus f de moins x sur 2, et h de x est égal à f de x moins f de moins x sur 2.

Décomposition d’une fonction en fonction paire et impaire

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