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Centres étrangers 2

Dans cet exercice de bac sur les probabilités, nous devons effectuer différents calculs avec des probabilités conditionnelles et des variables aléatoires. Pour commencer, nous avons des informations sur une étude statistique réalisée dans une entreprise, qui indiquent que 48% des salariés sont des femmes et 52% sont des hommes. Parmi les femmes, 16,5% sont cadres et parmi les hommes, 21,5% sont cadres.

Ensuite, nous devons représenter cette situation par un arbre pondéré, en prenant en compte les différentes probabilités. Par exemple, la probabilité d'être une femme est de 0,48 et la probabilité d'être un cadre sachant que c'est une femme est de 0,165. Nous utilisons ces informations pour calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre, soit 0,0792.

Nous devons ensuite démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à 0,191, en utilisant la formule des probabilités totales. La probabilité d'être un cadre sachant que c'est un homme est également calculée.

Par la suite, nous devons déterminer si les événements "être une femme" et "être un cadre" sont indépendants en comparant la probabilité de leur intersection avec le produit de leurs probabilités respectives. Dans ce cas, les événements ne sont pas indépendants.

Nous introduisons ensuite une variable aléatoire X qui représente le nombre de cadres parmi un échantillon de 15 salariés. Nous déterminons la probabilité que l'échantillon contienne zéro ou un cadre, soit 0,1890.

Nous calculons ensuite l'espérance de la variable aléatoire X en utilisant la formule correspondante.

Dans la dernière partie de l'exercice, nous considérons un échantillon de N salariés et cherchons la valeur minimum de N pour avoir une probabilité supérieure ou égale à 0,99 d'avoir au moins un cadre dans cet échantillon. En utilisant le logarithme, nous trouvons que N doit être supérieur ou égal à 22.

Cet exercice met en pratique différentes notions de probabilités, notamment les probabilités conditionnelles, les probabilités totales et les variables aléatoires.

Salut, bienvenue dans cet exercice de bac sur les probabilités. Donc, dans cet exercice, c'est un exercice, on va dire, classique de probabilités, on nous demande de faire des calculs un peu typiques de probabilités, avec des probabilités conditionnelles, des fois de l'espérance, je ne pense pas qu'il y en ait dans cet exercice. Et ensuite, on nous fait partir sur des variables aléatoires. Donc voilà, la variable aléatoire, qui suivra, dans la plupart des cas, une loi binomiale de paramètres. Voilà, ici, ce sera 15, et la probabilité, on nous le dira. Donc voilà, ça, c'est classiquement ce qu'il faut savoir faire pour un exercice de proba au bac, qui tombe quasiment tout le temps, quasiment tout le temps de la proba au bac. Donc voilà, sans plus tarder, on est parti, on va voir un peu ce qu'on nous demande dans cet exercice. Donc là, on nous dit, une étude statistique à réaliser dans une entreprise, pardon, une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes. On a 48% des salariés qui sont des femmes, 52% qui sont des hommes. Parmi les femmes, il y a 16,5% qui exercent une profession de cadre, et parmi les hommes, 21,5% qui exercent une profession de cadre. Donc là, parmi elles, parmi eux, en termes de proba, il faut que notre cerveau soit entraîné à réfléchir à du « sachant ». Parmi elles, c'est « sachant les femmes », « sachant que c'est une femme », 16,5%, sont cadres. « Sachant que c'est un homme », 21,5%, sont cadres. D'accord ? Ça, c'est vraiment, c'est un réflexe qu'il faut absolument avoir. Ensuite, on nous dit, on choisit une personne au hasard parmi les salariés, on considère F, c'est une femme, C, c'est une profession de cadre, voilà. Ensuite, représenter la situation par un arbre pondéré. Alors, bon, pour des raisons mathématiques, on n'est pas là pour parler de genre, tout ça, on dit « femme », « homme ». D'accord ? Si ce n'est pas une femme, c'est un homme, voilà, en maths. Pour l'instant, on est très binaire. Donc, l'arbre pondéré, donc voilà, « femme », 0,48, « homme », 0,52. Ensuite, parmi les femmes, comme je disais, 16,5%, donc 0,165 cadres, et le contraire, donc pas cadre, 0,835. Pour les hommes, c'est 0,215, parce que 21,5% de cadres parmi les hommes, et le contraire, 0,785. Voilà, l'arbre pondéré. Ensuite, calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre. Donc là, on ne veut pas que ce soit, on choisit une personne parmi les femmes, on veut savoir quel cadre, là, ce serait sachant « femme », on veut la probabilité de « c », ici, on veut que ce soit une femme qui exerce une profession de cadre. Donc, on veut « femme » et « cadre ». Donc, on est dans une intersection P de C inter F. Petit rappel, formule des probabilités conditionnelles, donc P de A inter B, c'est P de A fois P de B sachant A. C'est ça qu'on va utiliser. P de C inter F, c'est P de F fois P de C sachant F. On a toutes ces infos, P de F, c'est 0,48. P de C sachant F, c'est 0,165. On fait le calcul, ça nous donne 0,0792. Là, il faut faire attention, parce que si on se dit « j'arrondis à combien, deux chiffres, trois chiffres ? » Il y a une information, je ne me suis pas arrêté dessus, mais il faut faire attention, on arrondit à 10,4 si besoin. S'il y a besoin d'arrondir à un truc, il faut arrondir à 10,4 dans l'exercice. Donc il faut bien faire attention à ça pour ne pas perdre des points bêtement. Ensuite, démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à 0,191. Là, on cherche juste la probabilité que la personne soit un cadre, donc on cherche P de C. C'est pareil, c'est un résultat classique qu'on va utiliser, c'est la formule des probabilités totales. P de C, c'est P de C inter F plus P de C inter H, parce que F et H sont une partition, parce que H, c'est F-bar. Donc on a, celui-ci, on l'a déjà calculé, c'est 0,0792. Et P de C inter H, on le calcule en utilisant pareil la même formule, c'est P de H fois P de C sachant H. Et donc, ça nous fait 0,1118, et on additionne tout ça, ça nous fait 0,191. Ensuite, on nous demande si les événements F et C sont indépendants. Il faut justifier. Rappel, encore une fois, c'est une question très classique. Deux événements sont indépendants si et seulement si la probabilité de leur intersection, c'est le produit de leur probabilité respective. Donc là, ce qu'il faut faire, probabilité d'intersection, on l'a déjà, on calcule le produit, on voit si c'est la même chose, et on en déduit s'ils sont indépendants ou pas. Donc P de F fois P de C, on fait le calcul, on trouve 0,0917, et la probabilité d'intersection, c'était 0,0792, alors c'est arrondi, donc F et C ne sont pas indépendants, ce n'est pas la même chose. La quatre, calculer la probabilité de F sachant C, notez P de F sachant C, je ne sais pas pourquoi on nous le dit, comme si on avait oublié comment noter une probabilité conditionnelle, interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. Donc P de F sachant C, c'est P de C inter F sur P de C, donc on calcule, on remplace et ça nous fait 0,4147. Interpréter ce résultat dans le contexte, ça veut dire que sachant que la personne est un cadre, la probabilité que ce soit une femme, c'est 0,4147. Ensuite la cinq, c'est là où on fait intervenir de la variable aléatoire, on nous dit, on choisit au hasard un échantillon de 15 salariés. Il y a un grand nombre de salariés dans l'entreprise, donc ce tirage de 15 salariés, on peut l'assimiler à un tirage avec remise. Donc ça veut dire que chaque salarié qu'on va observer, va être indépendant des autres, c'est ça que ça signifie. On note X de la variable aléatoire, donnant le nombre de cadres au sein de l'échantillon de 15 salariés, et on rappelle la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit un cadre est égal à 0,191. Au cas où on n'avait pas trouvé la bonne probabilité pour P de C, on nous la donne, histoire de ne pas se tromper dans l'exercice des variables aléatoires. Dans la question des variables aléatoires, pardon. Donc pour justifier que ça suit une loi binomiale, on dit que c'est un schéma de Bernoulli, donc c'est une répétition de 15 épreuves aléatoires indépendantes identiques, à chaque fois, on prend un salarié, on regarde est-ce que c'est un cadre ou non, on repose, on prend un salarié, on regarde, donc c'est à chaque fois 15 fois la même épreuve, et d'un salarié à l'autre, c'est indépendant parce qu'on dit que c'est avec remise, etc. Du coup, où est-ce que j'en étais ? Donc le succès d'une épreuve de Bernoulli, donc de regarder est-ce que c'est un cadre, c'est 0,191, il y a 15 répétitions, donc les paramètres de la loi binomiale, c'est n égale 15 et p égale 191. Donc ça, c'est une façon de justifier que X est une loi binomiale de paramètres 15 et 191, pardon, c'est 0,191. Ensuite, on nous demande quelle est la probabilité que l'échantillon contienne O plus un cadre ? Donc là, O plus un cadre, on veut que X soit inférieur ou égal à 1. Donc on cherche la probabilité que X soit inférieur ou égal à 1. Donc ça, c'est P2X égale 0 plus P2X égale 1, ça veut dire O plus un cadre, c'est soit il y en a 0, soit il y en a 1. Donc on additionne ces probabilités. On a besoin d'un petit rappel, la probabilité que X soit égal à quelque chose, c'est à K, c'est K parmi N fois P puissance K fois 1 moins P puissance N moins K. Donc on remplace pour P2X égale 0 et P2X égale 1, on fait les calculs avec la calculatrice et on trouve, ça fait à peu près, toujours arrondi à 10.4, 0,1890. Ensuite, on nous demande déterminer l'espérance de la variable aléatoire X. Donc, encore un rappel, la formule d'une espérance quand X... Alors, question 6, on nous dit N, c'est un antinaturel, on considère dans cette question un échantillon de N salariés. Ça veut dire que cette fois-ci, on n'en prend plus 15, on en prend N, on ne sait pas encore combien ça fait. Quelle doit être la valeur minimum de N pour une valeur supérieure ou égale à 0,99 ? Donc en gros, ce qu'on veut, c'est on dit, sachant toutes les informations qu'on a, qu'est-ce qu'il y a de plus important que la valeur minimum de N toutes les informations qu'on a, combien on doit prendre de salariés pour être sûr à 99% qu'il y a au moins un cadre dedans. Donc, ce qu'on cherche, c'est N, c'est combien de salariés on doit prendre dans notre échantillon. On cherche N tel que la probabilité d'avoir au moins un cadre, ça veut dire P de X supérieure ou égale à 1, soit supérieure ou égale à 0,99. Ça, c'est très classique, ça revient souvent dans les exodes BAC sur les probas. Ça fait intervenir du logarithme, alors après, le N qu'on cherche, il va être en puissance et donc, c'est du logarithme qui va nous permettre de ne trouver que N. Donc ici, on a dit P de X supérieure ou égale à 1, c'est 1 moins P de X égale 0. Parce qu'au moins une personne ait cadre dans l'échantillon, ça veut dire qu'il n'y en a juste pas zéro. Donc, tout sauf zéro, c'est 1 moins P de X égale 0. Donc c'est 1 moins, on recopie la formule tout à l'heure avec X égale 0, donc 0,809 puissance N. On réécrit, on veut que ça soit supérieure ou égale à 0,99, donc ça nous fait cette inégalité-là. On passe celui-ci à droite et celui-ci à gauche, ça nous fait 0,01 supérieure ou égale à 0,809 puissance N. Comme je disais, le N, c'est celui qui nous intéresse, il est en puissance, on applique le log. Le log est une fonction croissante, donc quand on l'applique dans une inégalité, on ne change pas le sens de l'inégalité. Donc, on se retrouve avec log de 0,01 supérieure ou égale à N, log de 0,809, parce que quand on a le log d'un nombre avec une puissance, la puissance passe devant, c'est une propriété du logarithme, c'est d'ailleurs pour ça qu'on l'utilise dans cette situation. Ensuite, on va diviser par ça pour isoler N. Ce qu'il faut savoir, vraiment, il faut faire attention, on va diviser par un nombre. Dans une inégalité, il faut se dire que le log est négatif. Ici, log de 0,809, en fait, il faut connaître dans les propriétés du log que le log est négatif si X est entre 0 et 1 strictement. Là, 0,809, c'est strictement entre 0 et 1, donc le log de 0,809 est négatif. En divisant par ça, on divise par un nombre négatif, donc il faut inverser le sens de l'inégalité. On se retrouve avec, N n'est pas supérieur ou égal à cette quantité. Cette quantité fait à peu près 21,7, mais N, c'est un entier, donc il faut que N soit l'entier le plus proche de 21,7 en étant supérieur. Donc, c'est 22. Il faut que la taille de l'échantillon soit supérieure ou égale à 22 pour qu'on ait 99% de chance d'avoir au moins un cadre dans cet échantillon. Voilà ce qui conclut cet exercice sur les probas.

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