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Physique

Modélisation de l'écoulement d'un fluide

Dans cette vidéo, Matisse de STUDIO explique comment calculer le débit volumique à travers trois sections d'un tuyau biscornu. Il utilise la formule du débit volumique qui est la vitesse du fluide multipliée par la surface de la section. En utilisant cette formule, il exprime les vitesses V1 et V2 en fonction des surfaces S0, S1, S2 et de la vitesse V0. Il explique ensuite que la conservation du débit volumique permet de comprendre que le fluide s'écoule plus rapidement dans les sections plus étroites. Ensuite, il utilise la relation de Bernoulli pour exprimer la pression sur chaque surface S1 et S2 en fonction de la pression P0, de la vitesse V0 et des autres paramètres du système. Il montre comment utiliser cette relation pour calculer les pressions P1 et P2. Il conclut en soulignant l'importance de comprendre cette méthode dans le domaine du débit volumique.

Bonjour à tous, c'est Matisse de STUDIO et dans cette vidéo on va se pencher sur un tuyau biscornu. Alors, à l'aide du schéma ci-dessus, exprimer le débit volumique à travers les trois profils S0, S1 et S2. Donc les trois profils se situent ici. A chaque fois, on a associé une hauteur particulière de tuyau, donc H0, H1 et H2, et une vitesse à laquelle le fluide s'écoule, donc V0, V1 et V2. Très bien, alors justement, c'est parti pour l'expression du débit volumique à travers ces trois sections. On se base sur la formule à connaître par cœur du débit volumique, c'est la vitesse du fluide au niveau de la section considérée de surface S. Alors, à ce moment-là, on a juste à adapter pour les trois sections V0 à 0, V1, V1 et V2, S2. Par conservation du débit volumique, ces trois grandeurs sont égales et égales au débit volumique considéré. Deuxième question, exprimer les vitesses V1 et V2 en fonction de S1, S2, S0 et V0. On veut s'affranchir de V1 et V2 en les exprimant en fonction des autres grandeurs. Pour cela, on a juste à se baser sur la relation qu'on vient de trouver. Donc V1, si on considère cette relation juste ici, on divise par S1 et on trouve V1 qui est égal à V0 fois S0 divisé par S1. Et puis V2, c'est égal à V0 fois S0 divisé par S2. Donc là, à partir de ces relations-là, on peut directement en deviner, plutôt les étudier pour comprendre quand est-ce que le fluide va de plus en plus vite. Alors on sait que le débit volumique se conserve, donc il est toujours constant. A partir de là, on peut raisonner, si S0 est plus petit que S1, donc cette fraction va être plus petite que 1, et donc V1 va être inférieur à V0. Et donc ça veut dire qu'ici, le fluide s'écoule plus vite qu'à cet endroit-là, puisque la section est plus fine. Et en effet, vu qu'on doit faire passer la même quantité de fluide en un temps donné, vu que la section est plus petite, on doit en faire passer plus rapidement, donc la vitesse est plus élevée. Alors à partir de là, troisième question, en utilisant la relation Bernoulli, exprimer la pression sur chaque surface S1, S2, en fonction de la pression P0 et de la vitesse V0, ainsi que des autres paramètres du système. Eh bien, cette relation, elle est à connaître par cœur, elle est très utile pour calculer ce qu'il y a des surfaces, des vitesses, des pressions, etc. Et donc, la relation Bernoulli, c'est quoi ? C'est, dans ce tuyau, V² sur 2 plus GZ plus P sur ρ est égal à une constante. Alors, quelle est la signification de chacune des grandeurs ? V, c'est tout simplement la vitesse à laquelle s'écoule le fluide dans la section. Z, c'est la côte à laquelle il se trouve, la hauteur par rapport à une origine. Et puis P, c'est la pression qui se trouve au sein du fluide, ρ étant la masse unique, bien sûr. Donc, on sait que cette relation est constante. À partir de là, comment est-ce qu'on peut raisonner ? Eh bien, on va exprimer chaque relation en fonction de ce qu'on a trouvé. Donc, au point 1 et au point 0, on a établi cette égalité à partir de la relation de Bernoulli. Ok ? Donc, sachant qu'on doit s'affranchir, le but, on le rappelle, c'est de trouver la pression sur chaque surface S1 et S2. Donc, trouver P1. Eh bien, on multiplie par ρ pour avoir juste P1 au numérateur. Et puis maintenant, on fait tout passer de l'autre côté. Donc, P1, c'est égal à P0 plus ρ sur 2 V0² moins V1² plus ρG de H0 moins H1. Très bien. Donc, ça, c'est juste en faisant basculer ce terme juste ici de l'autre côté. Et ensuite, on utilise la relation que l'on a trouvée juste avant pour s'affranchir de V1. On avait préparé le terrain. Donc, V1, on le rappelle, c'est égal à V0 S0 divisé par S1. Donc, finalement, P1, c'est égal à P0 plus ρ V0² sur 2 facteur de 1 moins S0 sur S1 plus ρG facteur de H0 moins H1. Et puis de même, on peut, à ce moment-là, exprimer la pression au point 2. Puisque ici, les indices n'ont pas d'importance particulière. On a juste à remplacer les 1 par des 2. Et donc, finalement, P2 est égal à P0 plus ρ V0² sur 2 facteur de 1 moins S0 sur S2 plus ρG facteur de H0 moins H2. Donc, voilà. C'est une première approche de comment est-ce qu'on peut combiner justement cette notion de débit volumique avec la relation de Bernoulli. C'est franchement une des méthodes les plus classiques à connaître dans ce chapitre. Donc, n'hésitez pas à revenir là-dessus. Je vous dis merci beaucoup d'avoir regardé cette vidéo. Et puis, je vous dis à bientôt.

Tuyau biscornu

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