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Corrigés de BAC

Bac Maths

Sujet 0

L'exercice consiste à analyser graphiquement une fonction dérivable, définie sur l'intervalle (0,+∞), et représentée par une courbe dans un repère. On note A et B les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses, et on observe que la tangente en A est parallèle à cet axe

Pour la suite de ce sujet de bague, je vais commencer par faire un des deux exercices au choix du candidat. Donc il y a le A et le B. Je commence par le A. Ici, les domaines abordés sont logarithme, dérivation, convexité, donc en gros tout ce qui est études de fonctions vues en terminale. C'est plusieurs chapitres, dérivation, convexité, limites. Alors, on va vous dire, on a un graphique, on le représente dans un repère, une courbe, la courbe d'une fonction qui est dérivable, définie dérivable sur R plus étoile. On vous met une tangente en un point avec les coordonnées, et on vous met une autre tangente en un autre point. On vous dit que cette droite tangente est parallèle à l'axe des abscisses. Vous comprenez tout de suite, droite parallèle, 0. Et on vous dit ensuite, la droite TB coupe l'axe des abscisses en deux points. Voilà, donc, hop, cessons de lire ça, voyons plutôt le graphique ce que ça donne. OK, on a une fonction qui est définie sur 0 plus infini. Tout de suite, je me dis, en 0 plus, elle a l'air d'avoir une limite moins infinie. Là-bas, elle a l'air d'avoir une limite peut-être 1 demi, peut-être 0, peut-être 0 plus, légèrement au-dessus de l'axe. Et j'ai deux points, en TB, où j'ai une tangente en effet horizontale, et en B, une tangente qui a l'air de descendre comme ça. Je vois qu'elle descend de 1 carreau à chaque fois, donc je sens que c'est une tangente qui a un coefficient directeur en moins 1. Voilà tout ce que je peux voir déjà ici. Alors, la fonction a l'air de croître, puis décroître, et elle a l'air d'être un peu comme ça, donc si vous vous rappelez la convexité, quand une fonction a l'air de faire la tête, on dit qu'elle est concave, et quand elle a l'air de sourire, on dit qu'elle est convexe. On a une concavité qui se finit ici par une convexité. On voit que ça va être intéressant, et il y a un moment, il va y avoir un changement. Un point d'inflexion, essentiellement. Voilà tout ce qu'on peut se dire déjà en voyant ce graphe. Donc, partie 1, déterminer graphiquement les valeurs de f'1 sur E et de f'1. Ça, c'est donné par l'énoncé. On vous dit que TA est parallèle à OX, ça veut dire que la pente, c'est 0. Donc f'1 sur E, c'est le coefficient de la tangente au point 1 sur E, qui est le point A. Le point A est de coordonnée 1 sur E. Ça veut dire que f'1 sur E, c'est 0. f'1, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point B, et on a déjà vu que c'était moins 1, parce qu'on peut calculer la pente, c'est 0-3 sur 3-0. Ça va très vite. Donc, je pense que je l'ai un peu rédigé quand même. Tangente horizontale en X égale 1 sur E, donc f'1 sur E égale 0. TB passe par 0, 3 et 3, 0, donc f'1, c'est cette pente, la pente de cette droite, cette tangente, et c'est moins 1. Alors pour TB, qu'est-ce qu'on a ? On sait 1, que la pente, c'est moins 1, et on sait que l'ordonnée à l'origine, c'est 3. Ce que l'énoncé nous dit, qu'on passe par le point ici. Ce que l'énoncé nous dit, elle passe par le point 0, 3, l'ordonnée à l'origine. Donc ça c'est facile. J'ai la pente, j'ai l'ordonnée à l'origine, je peux écrire tout de suite, c'est pente moins 1 fois X plus ordonnée à l'origine 3. Voilà, c'est moins X plus 3, très facile. Là on est au niveau de troisième honnêtement. Il ne faut pas trop se prendre la tête, il faut aller vite. Partie 2. On suppose maintenant que la fonction f est définie par la relation qui est ici. Petit 1. Montrez par les calculs que cette courbe passe bien par les points A et B définis précédemment, et qu'elle coupe l'axe des abscisses en un point unique. Est-ce que ça a l'air d'être vrai ? Oui. Elle n'a pas l'air de couper l'axe des abscisses, elle a l'air de le couper ici. On va vérifier qu'elle passe bien par A et par B, cette expression qu'on nous donne, et on va vérifier que tout marche bien. Donc f, je l'ai rappelé ici, donc f2x, c'est ça, 2 plus l'axe de X sur X. Calculons ce qui se passe pour 1 sur E. 1 sur E qui est l'abscisse de A, et on espère trouver comme image par f la valeur de l'ordonnée de A, qui est E. Donc f de 1 sur E, on calcule, ça fait 2 moins 1 sur 1 sur E, ça fait E. Donc on a bien la coordonnée 1 sur E qui correspond au point A, ça veut dire que le point A appartient à la courbe de f. f de 1 égale 2, ça se calcule très vite, ça fait 2 plus 0 sur 1. Donc 2 plus 0, on met ça là-dedans, vous mettez 1 dans le log de X, ça fait 0. Vous mettez 1 ici, ça fait 2 plus 0 sur 1, ça fait 2. Donc le point B, qui est 1, 2, appartient bien à la courbe de f. Dernier truc qu'on vous demande dans la question 1, cf coupe l'axe aux X quand ? Uniquement quand f2x égale 0. Donc quand ce truc-là égale 0, quand le log de X égale moins 2. Et ça, c'est uniquement parce qu'on sait que la fonction log est bijective, strictement croissante, continue, tout ça. Si c'est possible, X égale E de moins 2 en unique croisement de l'axe aux X. Le deuxième truc qu'on vous demande ensuite, ce sont les limites. Attendez, je vais rechercher l'énoncé. On dit trouver les limites en 0+, et la limite en plus infinie. Encore une fois, on avait l'air de dire, en 0+, ça a l'air de tomber très bas, donc on sent que c'est moins infini, et là c'est 0. Tout ça n'a pas de valeur de démonstration, mais c'est bien pour vous de regarder quand même et d'avoir une idée préconçue. De vous dire, ça a l'air d'être ça, ça peut guider votre sens de détection d'une erreur. Si vous vous plantez ou faites une erreur, au moins grâce à ça vous le verrez. On va regarder ce qu'il se passe en 0+. J'écris f2x, astucieusement, en factorisant mon expression de base par log2x sur x. Je sépare en deux, comme ça. Je factorise par le plus gros, en plus infinie en tout cas, et on va voir si ça m'aide pour le reste. Qu'est-ce que ça donne ? Log2x sur x fois 1 plus 1 sur log2x en 0+, quelle est la limite de ce truc-là ? C'est la limite de log2x fois 1 sur x. Log2x en 0+, c'est moins l'infini. 1 sur x en 0+, c'est plus l'infini. Ça, ce n'est pas une forme à déterminer. J'ai moins l'infini fois plus l'infini, c'est moins l'infini. Ça, c'est connu. Ensuite, en 0+, la limite de ce truc-là, log2x en 0+, c'est moins l'infini. Ça, c'est le cours sur la fonction log. 2 sur l'infini, ça fait 0. La limite en 0+, de ce truc-là, c'est 1. Ensuite, j'ai ces deux termes-là. Celui-ci qui est moins l'infini, celui-là qui est 1. Le produit, c'est moins l'infini. C'est démontré. Je vous avais dit que c'était un peu lourd, mais je pense que si vous rédigez tout bien propre comme ça, vous aurez tous les points. C'est le truc le plus safe. En plus de l'infini, qu'est-ce qui se passe-t-il ? On regarde la limite de log2x sur x. Log2x sur x, on sait. En plus de l'infini, on a une croissance comparée. On sait que le log croît moins que toute puissance de x. Donc, ça tend vers 0+. Et tout ce machin-là, en fait, log2x, ça tend vers plus l'infini. Tout ça, ça tend vers 0. Le tout ici tend vers 1 en plus l'infini. Par produit, ce truc-là, la fonction f tend vers 0 plus fois 1, 0+. Voilà. Donc, on a retrouvé les intuitions qu'on avait. C'est-à-dire, moins l'infini là-bas, 0 plus de ce côté. C'est assez simple en soi. Il faut juste rédiger proprement, pas trop se planter, et ça va aller. Ensuite, on vous dit, montrer que... Je crois que je l'ai mis après, ça sera plus clair. Voilà, j'ai copié-collé ici. Montrez maintenant que pour tout x positif strict, la dérivée de f s'écrit comme ça. Bon, il faut toujours écrire la phrase qui tue en jaune. Si vous ne le faites pas, vous prenez le risque de ne pas avoir tous les points. Même si on vous a dit dans l'énoncé que f était dérivable, je vous conseille de l'écrire pour montrer que vous y avez pensé. f est dérivable sur 0 plus l'infini comme quotient de fonction dérivable. Donc, je me permets maintenant de la dériver. J'ai donc f'x égal. J'applique ma formule u'v-v'u. Je me débrouille, je ne me trompe pas. Faites-le, testez-le, vous n'avez pas besoin de moi pour détailler le calcul. Ça fait bien moins 1 moins log2x, le tout sur x². Faites le tableau de variation. Par quoi on commence ? Le signe de f'. On pourrait se dire, il y a des moins, donc à coup sûr c'est toujours négatif. Alors attention, le log peut être positif pour les valeurs de x qui sont en dessous de 1. Donc, on ne se précipite pas. C'est de vous donner toutes les erreurs potentielles. Et on écrit vraiment notre étude de signe. Comme d'hab, on a f'x positif raisonnant par équivalence, c'est seulement si, vu que ça c'est positif, ce machin là est positif. Ce machin là est positif, ça veut dire, quand je mets le log de l'autre côté, log2x plus petit que moins 1. Je vais peut-être sauter une étape ici, mais testez-le pour voir si vous avez bien suivi. log2x plus petit que moins 1, je passe à l'exponentiel, c'est seulement si, e de ça est plus petit que e de ça, or e de log2x c'est x, par définition, c'est seulement si x est plus petit que e puissance moins 1. On peut aussi écrire 1 sur e. Et donc j'ai mon petit tableau. Je ne dis pas la valeur interdite en 0, puisque je divise par un x, donc on sait que ce n'est pas défini en 0, c'est 0 ouvert plus infini. Jusqu'en e moins 1, f prime est positive, après c'est négatif, nécessairement, par équivalence, c'est ce qu'on comprend, j'ai plus, moins, ça monte, ça descend. En 1 sur e, je connais, je sais que c'est le point qu'on m'a donné depuis le début, c'est le point A, il me semble qu'il s'appelle. Donc c'est e, les limites c'est moins l'infini, 0 plus, on les a faites juste avant. J'ai un joli tableau. Donc ça c'est top. Maintenant on nous dit, vous avez tous les points avec ça, c'est assez propre, on note f prime prime la fonction dérivée seconde, on admet que f prime prime vaut ça, donc on vous évite le calcul, honnêtement il n'était pas trop compliqué, mais c'est cool, ça vous fait moins d'effort, déterminer le plus grand intervalle sur lequel f est convex. Cherchons quand f est convex. Le plus grand intervalle ce sera une discussion s'il y en a plusieurs. Essayons déjà d'en trouver au moins un et on verra bien s'il y a une discussion à avoir. Quand est-ce que f est convex ? Pour une fonction doublement dérivable avec f prime prime bien définie comme ici, f est convex, si et seulement si, f prime prime de x est positif ou nul. Voilà c'est ce que je dis ici. Comme f est dérivable deux fois, on a bien cette équivalence, qui vient du cours, pour une fonction doublement dérivable, on sait que c'est un critère de convexité possible. Et on regarde avec la fonction qu'on a. f prime prime est positif, si et seulement si. Comme on est sur R+, x3 est toujours positif, donc ce machin est positif. Si et seulement si, ça c'est positif, je l'ai écrit, toutes les justifications que je vous donne à l'oral, je les mets sur la copie, c'est très important. Je les mets à chaque fois avec un petit attention. Pour moi ça, les attentions, c'est toutes les erreurs à ne pas faire, et les astuces, ou les choses à bien écrire, pour avoir 20 sur 20 en vote back. Vraiment, ne les oubliez pas. Si et seulement si, 2log2x plus grand que moins 1, je divise par 2, ça fait log2x plus grand que moins 1,5, j'accélère un petit peu, si et seulement si, x est plus grand ou égal à e de moins 1,5. J'ai une seule possibilité pour être convex, c'est l'intervalle e de moins 1,5 et plus. L'intervalle le plus grand, c'est celui-là, c'est e de moins 1,5 plus l'infini. Est-ce que ça correspond à l'intuition ? Oui, rappelez-vous au début, je vous ai dit, on a l'impression que ça fait la tête au début, puis ça sourit après, donc ça a l'air d'être concave puis convex. En effet, ça a l'air d'être concave puis convex, le changement d'être ici, e de moins 1,5, c'est entre e puissance moins 1 et 1. Donc oui, ça a du sens. En gros, c'est vers là, pourquoi pas. Voilà, c'est fini pour cet exercice. Il me semble, je n'ai pas oublié de questions. N'hésitez pas, si vous avez des questions, mettez-les en commentaire. J'espère que c'est OK pour vous. Vous voyez, il y a beaucoup de briques de rédaction à connaître. Si vous les faites toutes, bien préciser vos limites avant de les composer, les multiplier, bien préciser les variabilités, si vous faites ça bien, vous avez votre très bonne note, votre 19 sur 20, vous avez au moins tous les points à cet exercice. Je pense que la difficulté n'est pas spécialement élevée par rapport à ce que vous avez vécu en DS toute l'année, mais la difficulté, c'est d'être bien discipliné sur à chaque fois, il y a une méthode à appliquer, je reconnais que c'est ça, il y a une chose à dire, autre chose à écrire. Apprenez par cœur ces choses à écrire, ces petits réflexes qu'il faut avoir. Vous éviterez des pertes de points qui sont dommages. Je vous retrouve pour le prochain exo. Corrigez. Bye bye.

Exercice A (Logarithme et convexité)

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