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Evolution temporelle dans un système capacitif

Dans cette vidéo, nous étudions la décharge d'un condensateur. Le condensateur est initialement chargé sous une tension U0 de 10V. L'intensité du courant traversant le condensateur est notée I et la charge positive de l'armature A est notée Q.

Pour commencer, nous établissons la relation entre I et UC, la différence de potentiel aux bornes du condensateur. D'après la relation tension-courant pour un condensateur, on a I(t) = C * dUC/dt.

Ensuite, nous montrons que l'équation différentielle régissant l'évolution de UC est donnée par α * UC + dUC/dt = 0, avec α = 1/RC où R est la résistance et C la capacité du condensateur.

Nous trouvons ensuite la solution de cette équation différentielle, qui est UC(t) = U0 * exp(-α * t). Nous dessinons le graphique de cette solution, montrant que la tension à l'infini est nulle.

Nous déterminons ensuite le temps caractéristique de décharge du condensateur, qui est égal à RC. En utilisant ce temps caractéristique et la résistance de 330 kOhm, nous calculons la capacité du condensateur qui est de 0,27 µF.

Enfin, nous montrons que l'intensité du courant est égale à -U0/R ou à -t/RC, en utilisant l'expression de UC obtenue précédemment. Nous calculons la valeur de UC et I à t = 0,5 secondes et concluons que le condensateur est déchargé à cet instant.

Cet exercice nous permet d'appliquer les différentes méthodes vues en cours sur les circuits RC. Il n'y a pas de pièges particuliers, il suffit de bien comprendre les concepts et d'appliquer les formules appropriées.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va se pencher sur la décharge d'un condensateur. Alors, à l'instant initial, le condensateur est chargé sous la tension assez borde qui est égale à U0, 10V. On note I, l'intensité du courant, et Q, la charge positive de l'armature A du condensateur. Très bien. Il faut maintenant, pour la première partie, préciser la relation liant I et UC. Alors, on se rend compte que I, en fait, c'est le courant qui traverse le condensateur. Donc on a directement une formule à connaître par cœur qui lit la relation tension-courant pour un condensateur. I, c'est le courant qui traverse le condensateur, donc on a I de T qui est égale à C fois D de UC sur DT, en fonction du temps. C'est la relation classique qu'il faut connaître. Maintenant, montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de UC, elle s'écrit alpha UC plus D de UC sur DT est égale à 0 et on donnera l'expression de alpha en fonction de R et de C. Donc si on regarde ici le schéma à présenter, comme dans la plupart des fois où on doit établir une équation différentielle, on doit appliquer la loi des mailles. Donc si on applique la loi des mailles à ce circuit, on se souvient de la méthode à faire, on va choisir un sens dans lequel on tourne et on compte positivement ou négativement en fonction du sens dans lequel on se place. Donc si on a établi que UC et UR étaient dans ce sens-là et que l'on tourne dans ce sens-ci, et bien lorsque l'on passe devant UC, on va contre la tension, donc on retient cet insignement, et ici on va contre la tension de la résistance, donc c'est un signement aussi. On a deux signements. Donc la loi des mailles nous dit que l'ensemble des tensions négatives est égal à l'ensemble des tensions positives. Donc au final, ici vu qu'elles sont toutes négatives, on a UC plus UR qui est égal à 0. Voilà ce qu'on pouvait dire. Maintenant, UR ça ne nous arrange pas trop, vu que nous on veut une expression en fonction de UC, c'est une équation différentielle sur UC, donc on applique la loi d'Ohm qui nous dit que UR c'est R fois l'intensité du courant qui traverse la résistance, donc c'est bien R fois I2t. Or I2t c'est aussi le courant qui traverse le condensateur, donc on sait d'après la relation précédente que c'est C d2UC sur dt. Donc on applique la formule et ça nous donne UC2t plus RC d2UC sur dt qui est égal à 0. Voilà ce qu'on pouvait dire. Donc au final, on a bien l'équation différentielle αUC2t plus d2UC sur dt qui est égal à 0, avec α qui est égal à 1 sur RC. Très bien, maintenant une deuxième partie, donnez la solution de l'équation différentielle précédente, dessinez l'allure de la solution et on fera apparaître U0 sur le graphe. Eh bien, c'est une équation différentielle du premier ordre, on se souvient de la méthode de résolution. Ici, la formule générale c'est UC2t qui est égal à A exponentielle de moins α sur t. Si on n'en est pas sûr, on peut bien sûr réinjecter cette solution et montrer que ça fait bien 0, avec A qui est égal à une constante. Et maintenant, il faut déterminer A, bien sûr, vu que l'ensemble de la solution n'est pas connu. Or, pour déterminer ça, on doit se baser sur deux notions. Tout d'abord, on peut regarder les conditions initiales. UC en 0, eh bien, d'après l'expression que l'on a terminée juste ici, en 0, on a exponentielle de 0 qui vaut 1. Donc UC en 0, d'après ce qu'on a déterminé, c'est A. Or, UC en 0, c'est la tension initiale du condensateur, donc d'après l'énoncé, c'est aussi U0. Donc au final, A est égal à U0. Et donc UC de t, c'est égal à U0 exponentielle de moins alpha t. Voilà ce qu'on pouvait dire. Et donc, pour tracer la solution, au départ, UC vaut 0. Et à l'infini, lorsque t est envers plus infini, l'exponentielle tend vers l'exponentielle de moins infini, qui est 0. Donc finalement, la tension à l'infini vaut 0. Voilà ce que l'on pouvait déterminer. Maintenant, deuxième question. Définir le temps caractéristique de décharge du condensateur. Et tant qu'on y est, troisième point. En mesure qu'il vaut 0,90 secondes, il faut calculer la capacité du condensateur, sachant que la résistance est de 330 kOhm. Alors, on a bien sûr un RC en série. Donc, on se souvient de la définition du temps caractéristique. Il s'agit du temps au bout duquel 63% du régime transitoire a été effectué. Et vu qu'on a Tau qui est égal à RC, on a C qui est égal à Tau divisé par R. Et l'application numérique nous donne une capacité de 0,27 µF. Très bien. On passe à la troisième partie, niveau intensité. À partir des résultats précédents, montrer que l'intensité du courant s'est égale à moins U0 divisé par R, ou à moins T divisé par RC. Alors, comment est-ce qu'on pourrait établir cette relation sur le courant ? On ne part pas de 0, vu qu'on a déjà déterminé l'expression par exemple de UC. Or, est-ce qu'on ne pourrait pas s'en servir ? Et bien si, bien sûr, avec la première question. I de T est égal à CD de UC sur DT. Donc, on a simplement à exprimer D de UC sur DT pour en déduire le courant I. Alors, pour ça, on va calculer D de UC sur DT, à partir de l'expression qu'on a obtenue précédemment. Donc, bien sûr, on dérive ce qu'il y a à l'intérieur de l'exponential pour trouver le facteur que l'on place devant. C'est moins Alpha. Donc, moins Alpha U0 exponentielle de moins Alpha T. Maintenant, on multiplie par C pour trouver le courant I, et on remplace Alpha par sa valeur. On obtient donc I de T, qui est égal à moins U0 divisé par R, fois exponentielle de moins T divisé par RC. C'est bien la formule qui nous a été demandée de retrouver. OK. Et maintenant, il faut calculer I et UC à T qui vaut 0,5 secondes, et préciser si le condensateur est déchargé. Donc, maintenant qu'on a les expressions pour n'importe quel temps, et bien on a simplement à faire une application numérique. Pour UC à T qui est 500 millisecondes, et bien on a 3,9 10 moins 2 volts, et on a un courant I qui est égal à moins 1,2 10 moins 7 ampères. Voilà ce qu'on pouvait dire. Or, est-ce qu'on peut en conclure que le condensateur est déchargé ? Et bien, à 500 millisecondes, les grandeurs sont d'un ordre de grandeur négligeable devant leur valeur initiale. On se souvient, on part d'une tension initiale U0 qui est égale à 10 volts, et là, au bout de 0,5 secondes, on se retrouve déjà à 3,9 10 moins 2, donc 0,039. Donc on est très très loin des 10 volts. Les ordres de grandeur ne sont plus du tout comparables, donc on peut considérer que le condensateur est déchargé à cet instant-là. Ce qui aurait pu nous mettre sur la piste, c'est aussi qu'on a largement dépassé le temps caractéristique, ici, arrivé à ce moment. Donc, voici ce que l'on pouvait dire sur la charge du condensateur à 500 millisecondes. Voilà, c'est la fin de cet exercice très complet sur le circuit RC. C'est vraiment le style Bach d'essayer de brosser le maximum de méthodes vues en cours. Ici, il n'y a pas trop de pièges, si on y va délicatement avec les connaissances qu'on a accumulées, ça devrait aller. Donc, bien ne pas se précipiter, bien comprendre de quoi il s'agit à partir de là, simplement à développer les calculs qu'on en a appris tout au long de ce chapitre. Merci beaucoup d'avoir regardé cette vidéo et puis à bientôt !

BAC : Décharge d’un condensateur

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