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Etude d'un système thermodynamique

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique comment faire décoller une montgolfière. Il commence par modéliser une montgolfière par un ballon rigide dont le volume est constant, avec une ouverture à la base permettant à l'air de rentrer ou de s'échapper. Le ballon contient de l'air à 20 degrés et à une pression de 1,013 x 10,5 pascal.

Il explique ensuite que l'air est composé en volume de 80% de diazote N2 et de 20% de dioxygène O2. La masse molaire de l'air est égale à la somme des masses molaires du diazote et du dioxygène, coefficientées par leur pourcentage volumique. La masse molaire de l'air est ainsi de 28,8 grammes par mole.

Il rappelle ensuite les conditions pour qu'un gaz puisse être assimilé à un gaz parfait, c'est-à-dire que les interactions entre les molécules au sein du gaz sont négligées.

Il calcule ensuite la quantité de matière d'air présente dans le ballon en utilisant l'équation d'état des gaz parfaits, ce qui donne une quantité de matière de 0,42 mol.

Il calcule ensuite la masse de l'air compris dans le ballon en utilisant la formule masse de l'air = quantité de matière * masse molaire de l'air, ce qui donne une masse de 12 g.

Il explique ensuite que la pression de l'air dans le ballon reste inchangée lorsque la température change, car le volume du ballon reste constant.

Il calcule ensuite la masse de l'air qui s'est échappée du ballon en utilisant l'équation d'état des gaz parfaits avec la nouvelle température de 90°C, ce qui donne une masse d'air échappée de 2,3 g.

Il explique ensuite que le décollage de la montgolfière dépend de deux forces, son poids et la poussée d'Archimède. Il utilise la deuxième loi de Newton et projette les forces sur l'axe vertical pour déterminer les conditions dans lesquelles la montgolfière peut décoller.

Enfin, il montre que l'air à l'intérieur du ballon doit être chauffé jusqu'à une certaine température pour que le décollage ait lieu. Il utilise une analyse thermodynamique et mécanique pour le démontrer.

Il conclut en encourageant les spectateurs à revoir l'exercice, qui est complet et représente un exercice typique de niveau Bac. Il précise que la dernière partie peut être complexe à comprendre, mais il souligne l'importance de bien saisir la notion de poussée d'Archimède et la comparaison entre l'air chauffé et non chauffé. Il termine en montrant que la montgolfière a besoin de chauffer l'air à l'intérieur pour décoller.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo, on va faire décoller une montgolfière. Alors, on modélise une montgolfière par un ballon rigide dont le volume est constant. Une ouverture est placée à la base du ballon permettant à l'air de rentrer ou de s'échapper. Et ce ballon de volume 10 litres contient de l'air à 20 degrés et à une pression de 1,013 x 10,5 pascal. Très bien. Alors, l'air assimilé à un gaz parfait est composé en volume de 80% de diazote N2 et de 20% de dioxygène O2. La masse molaire de l'air est égale à la somme des masses molaires du diazote et du dioxygène, coefficientées par leur pourcentage volumique. Bon, comme ça c'est clair, il faut montrer que la masse molaire de l'air est égale à 28,8 grammes par mole. Donc ça c'est vraiment une question classique. Il faut connaître la masse molaire de l'air. Comment est-ce qu'on la retrouve ? Eh bien, elle est définie comme étant la somme de la masse du diazote et de la masse du dioxygène en fonction de leur répartition dans l'air. C'est une manière un peu intuitive de définir la masse molaire de l'air. Donc, d'après sa composition, comme elle contient 80% de diazote, ça va être 80% de masse de diazote et 20% de dioxygène se traduit en 0,2 fois la masse de dioxygène. Ainsi, l'application numérique nous donne bien une masse molaire de l'air de 28,8 grammes par mole. Voilà ce qu'on pouvait dire. Maintenant, question 2. Rappelez-vous à quelles conditions un gaz peut être assimilé à un gaz parfait ? Donc ça c'est une question cruciale, vu qu'on sait que l'on applique nos règles thermodynamiques à des gaz parfaits. Or, ce n'est pas le cas, et dans la majorité même, ce n'est pas le cas, mais on prend certaines libertés dans nos calculs. Ce sont des hypothèses, mais il faut savoir ce que l'on fait. La définition d'un gaz parfait est à connaître par cœur. C'est un gaz qui peut être considéré comme parfait lorsque les interactions entre les molécules au sein du gaz sont négligées. Donc une autre manière de le voir, c'est-à-dire que la distance intermoléculaire moyenne est nettement supérieure à la distance d'interaction. C'est-à-dire que le gaz est tellement dilué que les molécules de gaz flottent sans rencontrer d'autres molécules à côté. Les interactions n'interagissent pas avec les molécules autour tellement elles sont éloignées. Question 3, calculez la quantité de matière d'air présente dans le ballon. On nous donne la constante des gaz parfaits, on nous donne la conversion des températures. On a la pression dans le ballon, sa température et puis son volume. Vous l'aurez compris, sur quoi on va se pencher ? C'est bien sûr l'équation d'état des gaz parfaits. En supposant le gaz parfait, on peut utiliser la relation PV est égal à nRT, et ainsi la quantité de matière d'air c'est égal à PV divisé par RT, et l'application numérique nous donne 0,42 mol. Voilà bien sûr la relation qu'il fallait utiliser. Maintenant il faut calculer la masse de l'air compris dans le ballon. Étant donné qu'on dispose de la quantité de matière et que l'on a calculé la masse molaire, on a simplement appliqué la formule, la masse de l'air c'est la quantité de matière fois la masse molaire, et donc la masse d'air contenue dans le ballon est égale à 12 g. Très bien, maintenant, quel est l'air à l'intérieur du ballon ? Il est chauffé à 92°C. Quelle est alors la pression de l'air dans le ballon ? Ça ce n'est pas vraiment une question facile, et donc pour ça on peut s'aider d'un raisonnement un peu inverse. En raisonnant par l'absurde, si la pression dans le ballon avait changé, la montgolfière subirait des forces de compression ou de traction qui modifierait le volume du ballon. En effet, c'est des compressions. Si on aspire l'air d'une canette, bien sûr la pression chute à l'intérieur de la canette, donc la canette va subir des forces de pression de la part du milieu extérieur qui va venir la comprimer. Donc, on peut en déduire, sachant que le volume est constant, que la pression au sein du ballon est inchangée. Maintenant, calculer la masse de l'air qui s'est échappée du ballon. Il y a bien quelque chose qui a varié, sachant que la température a changé. Donc, on peut en fait réexprimer cette équation des gaz parfaits en calculant la masse d'air dorénavant présente dans le ballon, sachant que maintenant la température est de 90°C. Donc, la quantité de matière qu'il y a dorénavant dans le ballon, c'est PV divisé par RT², puisque PV et V n'ont pas changé, et donc la masse d'air correspondante, c'est PV fois la masse molaire de l'air divisé par RT². Or, la masse d'air échappée, c'est donc la masse d'air qu'il y avait avant, moins la masse d'air qu'il y a maintenant, et donc on trouve une masse d'air échappée de 2,3 g. Voilà ce qu'on pouvait dire. Maintenant, ce base, c'est un exercice très intéressant, vu qu'on bascule du côté mécanique. On suppose que le ballon est soumis à deux forces, son poids et la poussée d'Archimède, comme le montre le schéma ci-contre. La valeur de la poussée d'Archimède Fp exercée sur le ballon est égale à la valeur du poids P, du volume d'air extérieur, déplacé par le ballon. Donc ça, c'est la définition que l'on a, une définition de la poussée d'Archimède. Dans le chapitre sur la mécanique des fluides, on la connaissait de manière plus fine. Il faut exprimer la deuxième loi de Newton pour le système, donc ballon et air intérieur, au moment où il décolle. Il faut le projeter sur l'axe vertical d'un repère d'espace Oka, où O est pris au niveau du sol, et où K est un vecteur unitaire orienté de base en O. Très bien. Donc, on va se baser bien sûr sur un schéma. La montgolfière studio, elle subit la force d'Archimède, donc il va venir la soulever, c'est ça qui va être la force motrice, bien sûr. Et puis, toujours, le poids, elle subit son propre poids. Donc, en considérant le système ici du ballon et de son air intérieur, avec le vecteur considéré, on peut appliquer le principe fondamental de l'animique, en n'oubliant pas les bons réflexes, les bons automatismes. On commence par définir le système. Donc, le ballon et l'air qu'il y a à l'intérieur. En bilan des forces, nous avons son poids et la poussée d'Archimède. Donc, le principe fondamental de l'animique dit que la masse de cette partie de la montgolfière fois son accélération, c'est égal au poids qu'il subit plus la force d'Archimède. Et puis, si l'on projette sur le vecteur k, on a la masse considérée fois l'accélération suivant le vecteur k est égale à la norme de la poussée d'Archimède moins la norme du poids. Voilà ce qu'on pouvait dire. Et donc, qu'est-ce qu'on peut en faire de cette analyse ? Et bien, question 8, à quelles conditions le ballon peut-il décoller ? Donc, on a bien orienté le schéma. Il décolle s'il va bien sûr de bas en haut. Donc, on souhaite que cette grandeur, cette accélération soit positive. Ainsi, la montgolfière décolle si et seulement si la norme de la poussée d'Archimède est supérieure à la norme du poids. Et enfin, dernière question. Montrez qu'il faut chauffer l'air du ballon intérieur pour que le décollage ait lieu. Et on appellera MB la masse de l'enveloppe du ballon. Donc oui, effectivement, dans une montgolfière, pourquoi est-ce que lorsque l'on chauffe, ça décolle ? Et bien, on va le montrer à partir de cette condition. Si on explicite FP. Donc, on a vu que c'était l'inverse du poids de l'air qui était déplacé par la montgolfière. C'est donc l'inverse du poids appliqué à l'air qui est contenu dans le ballon. Donc, sa norme, c'est tout simplement la norme d'un poids classique étant donné la masse d'air qui est contenue dans le ballon fois G. Or, si on divise par G cette relation, pour que la montgolfière décolle, il faut que la masse d'air soit strictement supérieure donc la masse d'air qui est bien sûr à l'intérieur du ballon soit strictement supérieure à la masse du ballon plus la masse d'air qui soit chauffée. Donc nc, c'est pour non chauffée. Puisque si l'on place, c'est en fait l'air qui serait contenu dans la montgolfière si elle ne participait pas au système, si elle ne chauffait pas l'air. C'est pour ça que je dis non chauffée. C'est-à-dire que l'on considère l'air qui serait présent dans la montgolfière si elle n'était pas là. C'est-à-dire qu'il serait à l'état normal, non chauffé. Or, qu'est-ce qu'on peut exprimer à partir de là ? On peut revenir à l'équation des gaz parfaits pour considérer les deux airs chauffés et non chauffés. On multiplie à chaque fois par la masse molaire bien sûr pour tomber sur le nombre de moles. Et puis celle-là, on va faire intervenir les températures que l'on souhaite faire intervenir vu qu'il faut montrer qu'un changement de température change quelque chose pour le décollage de la montgolfière. Donc à partir de l'équation des gaz parfaits, on fait intervenir la température de l'air non chauffé et la température de l'air chauffé. Et on isole justement cette différence de température. Donc on fait ressortir Tf et Tc. Et donc la température de l'air à l'intérieur de la montgolfière pour qu'elle décolle, elle doit être strictement supérieure à une température donnée, qui est supérieure à la température de l'air classique. Il faut donc chauffer l'air jusqu'à une température particulière où la montgolfière décolle. On vient directement de montrer que chauffer l'air à une certaine température permet effectivement, d'après notre condition, que la montgolfière décolle. On l'a montré grâce à un raisonnement à la fois mécanique et thermodynamique. C'est tout l'intérêt de cet exercice qui reprend les deux approches. Très très complet, c'est typique d'un exercice de Bach. N'hésitez pas à le reprendre. Cette dernière partie est très calculatoire et pas simple à saisir. Je trouve que la notion de pousser l'archimède est assez mal définie. Il faut bien comprendre comment la masse d'air qui serait présente dans le ballon est non chauffée à ce niveau-là. On compare avec la condition où on place la montgolfière et on chauffe l'air qui se trouve à l'intérieur. A partir de là, on peut mener cette double analyse, à la fois thermodynamique et mécanique. On obtient un très beau résultat. On vient de démontrer qu'une montgolfière a besoin de chauffer l'air à l'intérieur pour décoller. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et à bientôt.

BAC : Vol en montgolfière

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