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Maths Spé

Analyse

Théorèmes de Convergence

Exercice

$\text{Pour chaque suite, déterminer sa}\\\text{limite par la méthode de votre}\\\text{choix.}\\ \ \\u_n=\cos (n)-2 n\\v_n=\Large\frac{\sin(n)+n^2}{n+1}\normalsize\\w_n=n^2+(-1)^nn$

$\text{On considère la suite }\left(u_n\right)\text{ définie}\\\text{pour tout entier naturel }n\geqslant1\text{ par}\\u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.\\ \ \\.\text{ Démontrer que :}\\\large\frac{1}{2\sqrt{n+1}}\normalsize\leqslant u_n \leqslant \large\frac{1}{2 \sqrt{n}}\normalsize.\\ \ \\.\text{ Quelle est la limite de la}\\\text{suite }\left(u_n\right)\text{ ?}$


$\text{Soit }\left(u_n\right)\text{ une suite telle que,}\\\text{pour tout }n\in\mathbb{N}\text{,}\\ \ \\2-\large\frac{1}{n}\normalsize\leqslant u_n \leqslant 2+\large\frac{4}{n+1}\normalsize\\ \ \\\text{En utilisant le théorème des}\\\text{gendarmes, déterminer la limite}\\\text{de la suite }\left(u_n\right).$

$\text{Soient les suites }\left(u_n\right)\text{, }\left(v_n\right)\text{ et}\\\left(w_n\right)\text{ définies, pour tout }n\in\mathbb{N}^*\text{,}\\\text{par :}\\u_n=-5+\large\frac{\cos (n)}{n^2}\normalsize.\\v_n=4+\large\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\normalsize.\\w_n=42-\large\frac{\sin (n)}{n^5}\normalsize.\\ \ \\\text{Déterminer les limites des suites}\\\left(u_n\right)\text{, }\left(v_n\right)\text{ et }\left(w_n\right).$
