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Analyse

Level 4

\text{Soit }f\text{ définie pour }x>-1\text{ :}\\f(x)=\large\frac{3x+2}{x+1}\normalsize\\ \ \\1)a)\text{ Justifier que }f\text{ est continue.}\\\;\;\;b)\text{ Résoudre }f(x)=x\\\;\;\;c)\text{ Montrer que }f\text{ est croissante}\\ \ \\2)\text{ On définit }(u_n)_n\text{ telle que}\\u_0=-0.5\\\text{et pour tout }n,\;u_{n+1}=f(u_n)\\\;\;\;a)\text{ Par récurrence montrer que}\\\;\;\;\forall n,\;\;0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}<3\\\;\;\;b)\text{ En déduire la convergence}\\\;\;\;\text{de la suite et sa limite !}

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Level 5

\text{Soit }f\text{ définie sur }\R\text{ :}\\f(x)=\sqrt{x^2-x+1}\text{ si }x\leqslant1\\\text{ et}\\f(x)=-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}\text{ si }x>1\\ \ \\1)\text{ Justifier que }f\text{ est continue}\\\text{sur }\R.\\ \ \\2)a)\text{ Tracer la fonction }f.\\\;\;\;b)\text{ Pourquoi semble-t-elle}\\\;\;\;\text{dérivable ?}\\ \ \\3)a)\text{ Calculer les dérivées des}\\\;\;\;\text{deux fonctions :}\\\;\;\;x\to\sqrt{x^2-x+1}\\\;\;\;\text{et}\\\;\;\;x\to-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}\\\;\;\;b)\text{ Calculer leurs nombres}\\\;\;\;\text{dérivés en 1, conclure.}

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Analyse

Level 3

\text{On considère la fonction }f\text{ définie}\\\text{sur }\mathbf{R}\text{ par }f(x)=\frac{2 x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x+3\\ \ \\\text{1. Étudier les limites de }f\text{ en }-\infty\\\text{et en }+\infty\\\text{2. Dresser le tableau de variations}\\\text{complet de la fonction }f\\\text{3. Montrer que l'équation }f(x)=0\text{ n'admet}\\\text{aucune solution sur l'intervalle }\left[-\frac{1}{2} ;+\infty[\right.\\\text{4. En déduire que l'équation }f(x)=0\text{ admet}\\\text{unique solution }\alpha\text{ sur }\mathbf{R}\\\text{5. Fournir un encadrement au centième}\\\text{de }\alpha.

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Analyse

Level 4

On considère la fonction

f

définie sur

[0 ;+\infty[

par

f(x)=9 x+(15-2 x) \sqrt{x}

et la fonction

g

définie également sur

[0 ;+\infty[

par

g(x)=18 \sqrt{x}-6 x+15

1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction

g

2. Démontrer, sans la résoudre, que l'équation

g(x)=0

admet une unique solution sur

[0 ;+\infty[

que l'on notera

\alpha

3. Fournir un encadrement au centième de

\alpha

4. En déduire le signe de

g(x)

pour tout

x \in[0 ;+\infty[

5. Démontrer que, pour tout

x \in ]0 ;+\infty[

on a

f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{2 \sqrt{x}}

6. En déduire le tableau de variations complet de

f

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Analyse

Level 3

\text{Étudier, dans chaque cas, la continuité }\\\text{de la fonction }f\text{ sur l'intervalle I.}\\\text{a) }\\\ I=[1 ; 3] ;\left\{\begin{array}{l}f(x)=x-1 \text { si } x \in[1 ; 2] \\ f(x)=-2 x+7 \text { si } x \in] 2 ; 3] .\end{array}\right.\\\text{b) }\\\ I=[0 ; 3] ;\left\{\begin{array}{l}f(x)=x^2-x+1 \text { si } x \in[0 ; 1] \\ f(x)=\frac{2 x-1}{x} \quad \text { si } x \in[1 ; 3] .\end{array}\right.

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Analyse

Level 3

On considère la fonction

f

sur

[3 ;+\infty[

par

f(x)=x^2 \sqrt{x-3} <br/> 1) Justifier que

f

est continue sur

[3 ;+\infty[

et, sans calculer sa dérivée, démontrer que

f

est strictement monotone sur

[3 ;+\infty[

<br/> 2) Déterminer l'image par

f

de l'intervalle

[3 ;+\infty[

<br/> 3) Démontrer que l'équation

\sqrt{x-3}=\frac{4}{x^2}

possède une unique solution réelle. <br/> Donner une valeur approchée à

10^{-2}$près de cette solution.

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Analyse

Level 3

\text{1) Soit }g\text{ la fonction définie sur }\\ \mathbf{R}\text{ par : }g(x)=2 x^3+6 x^2+1\\ \ \\\text{a) Dresser le tableau des variations}\\\text{de }g\\\text{b) Démontrer que }g(x)=0\text{ admet}\\\text{une unique solution }\alpha\text{ dans }\mathbf{R}\\\text{Donner un encadrement de }\alpha\\\text{d'amplitude }10^{-1}.\\\text{c) En déduire le signe de }g(x)\text{ sur }\mathbf{R}.

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Analyse

Level 4

Soit

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=x^2

si

x \leqslant 0

et

x+b

si

x>0

. Pour quelle valeur de

b

,

f

est-elle continue en

0

?

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Analyse

Level 1

Soit la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par :

f(x)=\large\frac{x}{1+|x|}

.

\quad

. Justifier que la fonction

f

est continue sur

\mathbb{R}

.

\quad

. a) Tracer la fonction

f

sur une calculatrice pour

x \in[-4 ; 4]

et

y \in[-2 ; 2]

. b) Pourquoi la fonction semble-t-elle dérivable sur

\mathbb{R}

? c) Déterminer l'expression de

f

suivant le signe de

x

. d) Justifier que la fonction

f

est dérivable sur

\mathbb{R} \backslash\{0\}

. e) Calculer les nombres dérivés en

0

. Conclure.

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