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BCPST

Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Récurrence

Exercice

$\text{Binôme de Newton}\\ \ \\1.\text{ Soit }(x,y)\text{ dans }\R^2\text{ et }n\text{ un}\\\text{entier naturel.}\\\text{Montrer par récurrence que}\\ (x+y)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n\binom{n}{k}x^k y^{n-k}\\ \ \\2.\text{ Soit a dans }\R^+.\\\text{Démontrer avec la formule pré-}\\\text{cédente l'inégalité de Bernoulli.}\\ \ \\\text{En déduire que pour tout }\alpha>1\\\text{la suite}(\alpha^n)_{n\in\N}\text{ tend vers }+\infty$

$\text{Soit }(u_{n})\text{ la suite définie pour}\\n\in\N\text{ par :}\\u_{0}=1\\u_{n+1}=3 u_{n}-2 n+1\\ \ \\1.\text{ Calculer }u_{1},u_{2}\text{ et }u_{3}.\\ \ \\2.\text{ Démontrer, par récurrence, que}\\\text{pour tout entier naturel }n\text{, on a :}\\u_{n}\geqslant n+1\\ \ \\\text{Cette suite }(u_{n})\text{ est-elle}\\\text{convergente ?}\\ \ \\3.\text{ Démontrer que la suite }(u_{n})\text{ est}\\\text{croissante.}\\ \ \\4.\text{ Démontrer que, pour tout entier}\\\text{naturel }n\text{, on a :}\\u_{n}=3^{n}+n\\ \ \\\text{Retrouver ainsi la valeur de }u_{10}$