Maths Spé

Analyse

Level 3

\text{On note }\mathcal{D}=\mathbf{R} \backslash\{-1\}\text{ et pour }x \in \mathcal{D},\\ f(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x+1}\\ \ \\\text{1) On écrit la dérivée seconde de }f\\\text{sous la forme suivante : }\\ f^{\prime \prime}(x)=\frac{x^2+a x+b}{(x+1)^3} \mathrm{e}^{-x}\\\text{Combien valent }a\text{ et }b\text{ ?}\\\text{2) la fonction }f\text{ est-elle convexe ? }\\\text{Concave ? Change de concavité ? }\\\text{3) En écrivant l'équation réduite de la }\\\text{tangente en }(0, f(0))\text{, trouver une inégalité }\\\text{faisant intervenir }f(x)\text{ valable sur }] -1,+\infty[

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Level 3

\text{On considère }f: x \mapsto(x+1) \mathrm{e}^{-x^2}\\ \ \\\text{1) Pour tout réel }x\\ f^{\prime \prime}(x)=2 Q(x) \mathrm{e}^{-x^2}\text{ avec }\\ Q(x)=a\left(x^3+x^2\right)-3 x-1\\\text{Combien vaut }a\text{ ?}\\\text{2) On peut écrire }\\ Q(x)=(x-1)\left(2 x^2+\alpha x+\beta\right)\\\text{Combien valent }\alpha\text{ et }\beta\text{ ?}\\\text{3) Quel est le nombre de points d'inflexion }\\\text{du graphe de }f\text{ ? On précisera la/les }\\\text{abscisses(s) correspondantes. }\\\text{4) Préciser l'équation réduite de la tangente}\\\text{au point d'abscisse }1

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Analyse

Level 3

\text{Soient la fonction }f\text{ définie sur }\mathbf{R}\\\text{par }f(x)=2 e^{x-1}-x^2-x\\\text{et }\mathcal{C}\text{ sa coubre représentative.}\\\text{1. Calculer }f^{\prime}(x)\text{ et }f^{\prime \prime}(x)\\\text{2. Étudier la convexité de la fonction }f\\\text{3. Montrer que }f\text{ admet un point}\\\text{d'inflexion }A\text{ et préciser les coordonées}\\\text{de }A.\\\text{4. Quelle est l'équation de la tangente }\\\text{à }\mathcal{C}\text{ au point }A\text{ ?}\\\text{En déduire que pour tout }\\ x \geq 1: e^{x-1} \geq \frac{1}{2}\left(x^2+1\right)

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Analyse

Level 2

1. Montrer que la fonction

f

définie par

f(x)=-\sqrt{x}

est convexe.

\\

2. Déterminer l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse

9

.

\\

3. En déduire une inégalité.

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Analyse

Level 2

On considère la fonction

f

définie et deux fois dérivable sur

\mathbb{R}

par :

f(x)=7 x e^{-x}

\quad

. Calculer

f^ \prime(x)

et en déduire les variations de

f

.

\quad

. a) Calculer

f^{\prime \prime}(x)\\ \quad

. b) Étudier le signe de

f^{\prime \prime}(x)

et en déduire les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction

f

.

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Analyse

Level 2

En utilisant la convexité de la fonction exponentielle, montrer que, pour tout réel

x

,

1+x \leqslant \mathrm{e}^x

. Pour vous aider, déterminer l’équation de la tangente

T

au point d’abscisse

0

.

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Analyse

Level 3

On considère la fonction

f

deux fois dérivable sur

\mathbb{R} \backslash\{-1\}

définie par :

f(x)=\Large\frac{3-x}{x+1}

.

\quad

. Montrer que

f^{\prime \prime}(x)=\Large\frac{8}{(x+1)^3}

.

\quad

. En déduire le plus grand intervalle sur lequel

f

est convexe.

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