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1. Montrer que (a,b)R+,ln(ab)=ln(a)+ln(b),ln(1a)=ln(a),ln(ab)=ln(a)ln(b). 2. Simplifier la sommeS=n=1100ln(nn+1).1.\text{ Montrer que }\forall (a,b)\in\mathbb{R}^*_+,\\ln(ab)=ln(a)+ln(b),\\ln(\frac{1}{a})=-ln(a),\\ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b).\\ \ \\2.\text{ Simplifier la somme}\\S=\sum\limits_{n=1}^{100}ln(\frac{n}{n+1}).
12START THE EXERCICE
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Soit (un)la suite geˊomeˊtrique depremier terme u0=3 et de raison q=14 et (vn)la suite deˊfinie par vn=ln(un),nN 1. Montrer que (vn)est une suitearithmeˊtique dont on donnera lepremier terme et la raison. 2. Soit Sn=v0+v1++vnTrouver la limite de (Sn) 3.(a) Soit Pn=u0×u1××unMontrer que eSn=Pn(b) En deˊduire la limite de lasuite (Pn)\text{Soit }\left(u_n\right)\text{la suite géométrique de}\\\text{premier terme }u_0=3\text{ et de raison }\\q=\frac{1}{4}\text{ et }\left(v_n\right)\text{la suite définie par }\\v_n=\ln \left(u_n\right), \forall n \in \mathbb{N}\\ \ \\\text{1. Montrer que }\left(v_n\right)\text{est une suite}\\\text{arithmétique dont on donnera le}\\\text{premier terme et la raison.}\\ \ \\\text{2. Soit }S_n=v_0+v_1+\ldots+v_n\\\text{Trouver la limite de }\left(S_n\right)\\ \ \\\text{3.(a) Soit }P_n=u_0 \times u_1 \times \ldots \times u_n\\\text{Montrer que }e^{S_n}=P_n\\\text{(b) En déduire la limite de la}\\\text{suite }\left(P_n\right)
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On tire successivement, et avecremise, n boules d’une urne con-tenant 5 boules blanches et 25boules noires. Combien faut-il effectuer detirages pour que la probabiliteˊd’obtenir au moins 1 bouleblanche soit supeˊrieure aˋ 0,999 ?\text{On tire successivement, et avec}\\\text{remise, }n\text{ boules d'une urne con-}\\\text{tenant 5 boules blanches et 25}\\\text{boules noires.}\\ \ \\\text{Combien faut-il effectuer de}\\\text{tirages pour que la probabilité}\\\text{d'obtenir au moins 1 boule}\\\text{blanche soit supérieure à 0,999 ?}
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Dans chaque cas déterminer les entiers naturels nn tels que: a) (23)n<104\left(\frac{2}{3}\right)^n<10^4 b) (97)n106\left(\frac{9}{7}\right)^n \geqslant 10^6 c) 1(35)n0,9991-\left(\frac{3}{5}\right)^n \geqslant 0,999 d) 0,004>(89)2n0,004>\left(\frac{8}{9}\right)^{2 n}
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Simplifier l'écriture des expressions suivantes :
\quad. ln(3e)\ln (3 e)
\quad. lne2\ln e^2
\quad. ln(e)\ln (\sqrt{e})
\quad. ln13+ln35+ln57+ln79\ln \frac{1}{3}+\ln \frac{3}{5}+\ln \frac{5}{7}+\ln \frac{7}{9}
\quad. ln((2+3)20)+ln((23)20)\ln ((2+\sqrt{3})^{20})+\ln ((2-\sqrt{3})^{20})
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Résoudre les équations proposées.
\quad. ln3x=8\ln 3 x=8
\quad. lnx2=1\ln x^2=1
\quad. lnx3=2\ln \large\frac{x}{3}\normalsize=2
\quad. ln(3x2)=0\ln (3 x-2)=0
\quad. ln(x23x+2)=ln9\ln \left(x^2-3 x+2\right)=\ln 9
\quad. e3x+4=2\mathrm{e}^{3 x+4}=2
\quad. exln4=5\mathrm{e}^{-x \ln 4}=5
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1. Résoudre les équations suivantes.
a) ln(3x6)=ln(4x)\ln (3 x-6)=\ln (4-x)
b) ln(2x)ln(x+1)=ln(x5)\ln (2 x)-\ln (x+1)=\ln (x-5)
2. Résoudre les inéquations suivantes.
a) ln(4x2)+ln(5)<1ln2\ln (4 x-2)+\ln (5)<1-\ln 2
b) ln(5x)ln(x1)\ln (5-x) \geqslant \ln (x-1)
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