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Maths Spé

Analyse

Level 3

1.\text{ Montrer que }\forall (a,b)\in\mathbb{R}^*_+,\\ln(ab)=ln(a)+ln(b),\\ln(\frac{1}{a})=-ln(a),\\ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b).\\ \ \\2.\text{ Simplifier la somme}\\S=\sum\limits_{n=1}^{100}ln(\frac{n}{n+1}).

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Maths Spé

Analyse

Level 3

\text{Soit }\left(u_n\right)\text{la suite géométrique de}\\\text{premier terme }u_0=3\text{ et de raison }\\q=\frac{1}{4}\text{ et }\left(v_n\right)\text{la suite définie par }\\v_n=\ln \left(u_n\right), \forall n \in \mathbb{N}\\ \ \\\text{1. Montrer que }\left(v_n\right)\text{est une suite}\\\text{arithmétique dont on donnera le}\\\text{premier terme et la raison.}\\ \ \\\text{2. Soit }S_n=v_0+v_1+\ldots+v_n\\\text{Trouver la limite de }\left(S_n\right)\\ \ \\\text{3.(a) Soit }P_n=u_0 \times u_1 \times \ldots \times u_n\\\text{Montrer que }e^{S_n}=P_n\\\text{(b) En déduire la limite de la}\\\text{suite }\left(P_n\right)

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Maths Spé

Analyse

Level 4

\text{On tire successivement, et avec}\\\text{remise, }n\text{ boules d'une urne con-}\\\text{tenant 5 boules blanches et 25}\\\text{boules noires.}\\ \ \\\text{Combien faut-il effectuer de}\\\text{tirages pour que la probabilité}\\\text{d'obtenir au moins 1 boule}\\\text{blanche soit supérieure à 0,999 ?}

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Maths Spé

Analyse

Level 3

Dans chaque cas déterminer les entiers naturels

n

tels que: a)

\left(\frac{2}{3}\right)^n<10^4

b)

\left(\frac{9}{7}\right)^n \geqslant 10^6

c)

1-\left(\frac{3}{5}\right)^n \geqslant 0,999

d)

0,004>\left(\frac{8}{9}\right)^{2 n}

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Maths Spé

Analyse

Level 2

Simplifier l'écriture des expressions suivantes :

\quad

.

\ln (3 e)

\quad

.

\ln e^2

\quad

.

\ln (\sqrt{e})

\quad

.

\ln \frac{1}{3}+\ln \frac{3}{5}+\ln \frac{5}{7}+\ln \frac{7}{9}

\quad

.

\ln ((2+\sqrt{3})^{20})+\ln ((2-\sqrt{3})^{20})

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Maths Spé

Analyse

Level 2

Résoudre les équations proposées.

\quad

.

\ln 3 x=8

\quad

.

\ln x^2=1

\quad

.

\ln \large\frac{x}{3}\normalsize=2

\quad

.

\ln (3 x-2)=0

\quad

.

\ln \left(x^2-3 x+2\right)=\ln 9

\quad

.

\mathrm{e}^{3 x+4}=2

\quad

.

\mathrm{e}^{-x \ln 4}=5

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Maths Spé

Analyse

Level 3

1. Résoudre les équations suivantes.
a)

\ln (3 x-6)=\ln (4-x)

b)

\ln (2 x)-\ln (x+1)=\ln (x-5)

2. Résoudre les inéquations suivantes.
a)

\ln (4 x-2)+\ln (5)<1-\ln 2

b)

\ln (5-x) \geqslant \ln (x-1)

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