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Level 2

\text{Soit la fonction }g\text{ définie sur un}\\\text{intervalle }I\text{ par }g(x)=\ln(ax+b)\\\text{avec }a\text{ et }b\text{ des réels.}\\ \ \\\text{1. Sachant que la courbe repré-}\\\text{sentative }\mathscr{C}_g\text{ de la fontion }g\text{ passe}\\\text{par le point }A(0;1)\text{ et que la}\\\text{courbe }\mathscr{C}_g\text{ admet une }\text{tangente au}\\\text{point}\text{ d'abscisse 1 }\text{parallèle à la}\\\text{droite }d: y=2 x-1\text{, }\text{en déduire}\\\text{les valeurs de }a\text{ et }b\\ \ \\\text{2. Déterminer }I\text{ et le sens de varia-}\\\text{tion de }g\text{ sur }I.

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Level 2

\text{Soit }a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*\text{ avec }n>-a\\\text{On pose }u_n=\left(1+\frac{a}{n}\right)^n\\ \ \\\text{1. Montrer que la suite }\left(\ln \left(u_n\right)\right)_{n \in \mathbb{N}}\\\text{est bien définie.}\\ \ \\\text{2. Calculer }\lim _{n \rightarrow+\infty} \ln \left(u_n\right)\\ \ \\\text{3. En déduire que, }\\\forall x \in \mathbb{R}, e^x=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n

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Level 4

a\text{ est un réel strictement positif}\\\text{donné. }\text{On considère la fonction}\\\text{définie par :}\\\forall x\in\mathbb{R}_{+}^*\text{ par }f(x)=x\ln\left(1+\frac{a}{x}\right)\\ \ \\\text{1. Montrer que la fonction }f\text{ est }\\\text{est dérivable sur }]0;+\infty\left[\right.\text{ et que }\\\forall x\in\mathbb{R}_{+}^*,f^{\prime}(x)=\ln\left(1+\frac{a}{x}\right)-\frac{a}{x+a}\\ \ \\\text{2. Calculer }f^{\prime\prime}(x)\text{ et en déduire les }\\\text{variations de }f^{\prime}\\ \ \\\text{3. Déterminer }\lim _{x \rightarrow+\infty}f^{\prime}(x)\\\text{en déduire le signe de }f^{\prime}(x)\text{ puis}\\\text{le sens de variation de }f.

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Level 3

Déterminer les limites suivantes. a)

\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} 2 x \ln (x)-4

b)

\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} x \ln (x)+\large\frac{3}{x}

c)

\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} 5 x^2 \ln (x)-4 x^2+1

d)

\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 3 x>3}} \large\frac{\ln (x-3)}{x-3}\normalsize+3 x

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Level 3

On considère la fonction

f

définie par

f(x)=\large\frac{1}{x \ln (x)}

.

\quad

. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

f

.

\quad

. Déterminer les variations de la fonction

f

.

\quad

. Déterminer une équation de la tangente à la courbe

\mathscr{C}

représentant la fonction

f

au point d'abscisse

e

.

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Level 3

Déterminer les limites suivantes

\quad

.

\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \ln x-2 x

\quad

.

\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}(\ln x)^2-3 \ln x

\quad

.

\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(x^2+105 x+18\right)

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Level 2

Déterminer le plus grand ensemble de définition possible de chacune des fonctions suivantes, puis calculer

f^{\prime}(x)

. a)

f(x)=\ln (8 x-4)

b)

f(x)=\ln \left(x^2+x+1\right)

c)

f(x)=\ln \left(\large\frac{x-1}{2 x+4}\right)

d)

f(x)=\ln \left(\mathrm{e}^x-1\right)

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