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Exercice

$\text{On considère la fonction }f\text{ définie}\\\text{sur }\mathbb{R}\text{ par }f(x)=(x+2)e^{\frac{1}{2}x}.\\ \ \\\text{Soient }u\text{ et }v\text{ les fonctions définies}\\\text{sur }\mathbb{R}\text{ par }u(x)=x\text{ et }v(x)=e^{\frac{1}{2}x}.\\ \ \\a)\text{ Vérifier que }f=2\left(u^{\prime}v+uv^{\prime}\right).\\b)\text{ En déduire la valeur de}\\\text{l'intégrale }\int_0^1f(x)\mathrm{d}x.$

$\text{Pour tout entier }n\text{ appartenant}\\\text{à }\mathbb{N}^*,\text{ on considère l'intégrale}\\I_n=\int_1^e(\ln (x))^{\mathrm{n}}dx.\\ \ \\a)\text{ Démontrer que pour tout }x\\\text{appartenant à l'intervalle }[1,\mathrm{e}]\\\text{et pour }\text{tout }n\text{ entier naturel non}\\\text{nul, on a }(\ln x)^n-(\ln x)^{n-1}\leq 0.\\ \ \\b)\text{ En déduire que la suite }I_n\\\text{est décroissante.}$