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2BAC SM Maroc

Maths SM&SP

Analyse

Les fondements de la continuité

Exercice

$\text{Soit }f\text{ définie pour }x>-1\text{ :}\\f(x)=\large\frac{3x+2}{x+1}\normalsize\\ \ \\1)a)\text{ Justifier que }f\text{ est continue.}\\\;\;\;b)\text{ Résoudre }f(x)=x\\\;\;\;c)\text{ Montrer que }f\text{ est croissante}\\ \ \\2)\text{ On définit }(u_n)_n\text{ telle que}\\u_0=-0.5\\\text{et pour tout }n,\;u_{n+1}=f(u_n)\\\;\;\;a)\text{ Par récurrence montrer que}\\\;\;\;\forall n,\;\;0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}<3\\\;\;\;b)\text{ En déduire la convergence}\\\;\;\;\text{de la suite et sa limite !}$

$\text{Soit }f\text{ définie sur }\R\text{ :}\\f(x)=\sqrt{x^2-x+1}\text{ si }x\leqslant1\\\text{ et}\\f(x)=-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}\text{ si }x>1\\ \ \\1)\text{ Justifier que }f\text{ est continue}\\\text{sur }\R.\\ \ \\2)a)\text{ Tracer la fonction }f.\\\;\;\;b)\text{ Pourquoi semble-t-elle}\\\;\;\;\text{dérivable ?}\\ \ \\3)a)\text{ Calculer les dérivées des}\\\;\;\;\text{deux fonctions :}\\\;\;\;x\to\sqrt{x^2-x+1}\\\;\;\;\text{et}\\\;\;\;x\to-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}\\\;\;\;b)\text{ Calculer leurs nombres}\\\;\;\;\text{dérivés en 1, conclure.}$