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Analyse

Lien avec les Primitives

Exercice

$a)\text{ Calculer }J=\large\int_0^1\frac{x}{5 x^2+2}dx\normalsize\\ \ \\b)\text{ Calculer }I=\large\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{2\cos(x)}{1+2\sin(x)}dx$

$\text{ Calculer }I=\int_0^2x\sqrt{x^2+2}dx$

$\text{Vérifier que }F\text{ est une primitive}\\\text{de la fonction }f\text{ sur l'intervalle}\\\text{donné.}\\ \ \\1.\text{ sur }\mathbb{R}:\\f(x)=(3x+1)^2\text{ et }\\F(x)=3x^3+3x^2+x\\ \ \\2.\text{ sur }]0;+\infty[:\\f(x)=\large\frac{2(x^4-1)}{x^3}\normalsize.\text{ et}\\F(x)= \left(x+\large\frac{1}{x}\normalsize\right)^2$

$\text{Trouver les primitives des}\\\text{fonctions suivantes sur}\\\text{l'intervalle }I\text{  considéré.}\\ \ \\ 1. f(x)=x^2-3x+1\text{ sur }I=\mathbb{R}\\ \ \\ 2. f(x)=-\large\frac{2}{\sqrt{x}}\normalsize\text{ sur }\left.I=\right]0;+\infty[\\ \ \\ 3. f(x)=\large\frac{2}{x^3}\normalsize\text{ sur }\left.I=\right] 0 ;+\infty[$

$\text{Trouver la primitive }F\text{ de }f\\\text{sur }I\text{ telle que }F\left(x_0\right)=y_0\\ \ \\1.\,f(x)=x+\large\frac{1}{x^2}\normalsize\quad\\I=]0;+\infty[\text{ et }x_0=1,y_0=5.\\ \ \\2.\,f(x)=x^2-2x-\large\frac{1}{2}\normalsize\quad\\I=\mathbb{R}\text{ et }x_0=1,y_0=0.\\ \ \\3.\,f(x)=\large\frac{3x-1}{x^3}\normalsize\quad\\I=]0;+\infty[\text{ et }x_0=3,y_0=2.$