La pente de la tangente en toutpoint (x;y) d’une courbe est eˊgaleaˋx22Trouver l’eˊquation de cette courbe sachant qu’elle passe par le pointP(−1;−2).
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Level 3
Deˊterminer la primitive F de fveˊrifiant les conditions initialesF(x0)=y01. f(x)=3x2+x+16x+1;x0=0et y0=02. f(x)=3x2+4x+13x+2;x0=0et y0=23. f(x)=cos(7x);x0=π et y0=24. f(x)=(x+4)22;x0=−3 et y0=1
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On consideˋre la fonctiong:x↦x(x2−1)1 sur ]1;+∞[.1. Deˊterminer les nombres reˊelsa,b et c tels que l’on ait, pourtout x>1:g(x)=xa+x+1b+x−1c2. En deˊduire l’ensemble desprimitives de g sur ]1;+∞[.3. Soit G une primitive quel-conque de g sur ]1;+∞[.Deˊterminer la limite de G en+∞ et en 1.
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Level 3
On cherche aˋ reˊsoudre l’eˊquation (E) y′=y+ex1. Montrer que la fonction g(x)=xexest solution de l’eˊquation (E).2.(a) Montrer l’eˊquivalence suivante :une fonction f est solution de (E) si etseulement si f−g est solution del’eˊquation y′=y(b) En deˊduire la forme de la fonctionf−g, puis celle de f3. Deˊterminer la fonction solution de(E) qui prend en 1 la valeur 2 .
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Le but de cet exercice est d’eˊtudier certaines solutions sur R de l’eˊquationdiffeˊrentielle :y′(x)=∣y(x)−x∣et de donner l’allure des courbescorrespondantes (encore appeleˊes courbes inteˊgrales de cette eˊquation).1. Eˊtudier les solutions y telles quepour tout x∈R,y(x)⩾xet donner l’allure des courbesinteˊgrales.2. Eˊtudier de meˆme les courbesinteˊgrales qui restent dans le demi-plan d’eˊquationy⩽x.
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Les affirmations suivantes sont-ellesvraies ou fausses ?1. Soit la fonction f deˊfinie sur ]0;+∞[par f(x)=x2+2xx+1Affirmation 1 :La fonction F(x)=x+2ln(x2+2x)est une primitive def sur ]0;+∞[2. On consideˋre la fonction g deˊfinie sur R par g(x)=1+e−2x1−e−2xAffirmation 2 : la fonction g est pair.Affirmation 3 : la fonction g s’eˊcrit g(x)=ex+e−xex−e−x est une primitive de g sur Rest ln(ex+e−x)3. Affirmation 4 :Si une fonction continuesur R est impaire, alors sa primitive sur Rqui s’annule en 0 est paire.