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Analyse

Level 2

\text{La pente de la tangente en tout}\\\text{point }(x;y)\text{ d'une courbe est égale}\\\text{à }\large\frac{2}{x^2}\normalsize\\ \ \\\text{Trouver l'équation de cette courbe }\\\text{sachant qu'elle passe par le point}\\\mathrm{P}(-1;-2).

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Level 3

\text{Déterminer la primitive }F\text{ de }f\\\text{vérifiant }\text{les conditions initiales}\\F\left(x_0\right)=y_0\\ \ \\\text{1. }f(x)=\large\frac{6x+1}{3x^2+x+1}\normalsize;x_0=0\\\text{et }y_0=0\\ \ \\\text{2. }f(x)=\large\frac{3x+2}{\sqrt{3x^2+4x+1}}\normalsize;x_0=0\\\text{et }y_0=2\\ \ \\\text{3. }f(x)=\cos(7x);x_0=\pi\text{ et }y_0=2\\ \ \\\text{4. }f(x)=\large\frac{2}{(x+4)^2}\normalsize;x_0=-3\text{ et }y_0=1

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Level 3

\text{On considère la fonction}\\g:x\mapsto\large\frac{1}{x\left(x^2-1\right)}\normalsize\text{ sur }]1;+\infty[.\\ \ \\\text{1. Déterminer les nombres réels}\\a,b\text{ et }c\text{ tels que l'on ait, pour}\\\text{tout }x>1:\\g(x)=\large\frac{a}{x}\normalsize+\large\frac{b}{x+1}\normalsize+\large\frac{c}{x-1}\normalsize\\ \ \\\text{2. En déduire l'ensemble des}\\\text{primitives de }g\text{ sur }]1;+\infty[.\\ \ \\\text{3. Soit }G\text{ une primitive quel-}\\\text{conque de }g\text{ sur }] 1 ;+\infty[.\\\text{Déterminer la limite de }G\text{ en}\\+\infty\text{ et en 1.}

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Level 3

\small\text{On cherche à résoudre l'équation }\\\text{(E) }y^{\prime}=y+\mathrm{e}^x\\ \ \\\text{1. Montrer que la fonction }g(x)=x\mathrm{e}^x\\\text{est solution de l'équation (E).}\\ \ \\\text{2.(a) Montrer l'équivalence suivante :}\\\text{une fonction }f\text{ est solution de (E) si et}\\\text{seulement si }f-g\text{ est solution de}\\\text{l'équation }y^{\prime}=y\\\text{(b) En déduire la forme de la fonction}\\f-g\text{, puis celle de }f\\ \ \\\text{3. Déterminer la fonction solution de}\\\text{(E) qui prend en 1 la valeur 2 .}

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Level 3

\small\text{Le but de cet exercice est d'étudier }\\\text{certaines solutions sur }\mathbb{R}\text{ de }\text{l'équation}\\\text{différentielle :}\quad y^{\prime}(x)=|y(x)-x|\\\text{et de donner l'allure des courbes}\\\text{correspondantes (encore appelées }\\\text{courbes intégrales de cette équation).}\\ \ \\\text{1. Étudier les solutions }y\text{ telles que}\\\text{pour tout }x\in\mathbb{R},\quad y(x)\geqslant x\\\text{et donner l'allure des courbes}\\\text{intégrales.}\\ \ \\\text{2. Étudier de même les courbes}\\\text{intégrales }\text{qui restent dans le demi-}\\\text{plan d'équation}\quad y\leqslant x.

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Level 3

\text{Les affirmations suivantes sont-elles}\\\text{vraies ou fausses ?}\\ \ \\\text{1. Soit la fonction }f\text{ définie sur }] 0 ;+\infty[\\\text{par }f(x)=\frac{x+1}{x^2+2 x}\\\textbf{Affirmation 1 :}\text{La fonction }\\F(x)=x+\frac{\ln \left(x^2+2 x\right)}{2}\text{est une primitive de}\\f\text{ sur }] 0 ;+\infty[\\\text{2. On considère la fonction }g\text{ définie sur }\\\mathbb{R}\text{ par }g(x)=\frac{1-\mathrm{e}^{-2 x}}{1+\mathrm{e}^{-2 x}}\\\textbf{Affirmation 2 : }\text{la fonction }g\text{ est pair.}\\\textbf{Affirmation 3 : }\text{la fonction }g\text{ s'écrit }\\g(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\text{ est une primitive de }g\text{ sur }\mathbb{R}\\\text{est }\ln \left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right)\\\text{3. }\textbf{Affirmation 4 :}\text{Si une fonction continue}\\\text{sur }\mathbb{R}\text{ est impaire, alors sa primitive sur }\mathbb{R}\\\text{qui s'annule en 0 est paire.}

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