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2BAC SM Maroc

Maths SM&SP

Analyse

Les équations différentielles d’ordre 1

Exercice

$\small\text{Pour étudier une population }N\text{, le}\\\text{le modèle de Malthus consiste à écrire}\\\text{que le taux de variation de la}\\\text{population vérifie :}\\ \ \\N^{\prime}(t)=\beta N(t)-\delta N(t)\\ \ \\\text{où }\beta\text{ est le taux de fertilité (nombre de}\\\text{naissances par unité de temps et par}\\\text{individu) et }\delta\text{ le taux de mortalité}\\\text{(nombre de décès par unité de temps}\\\text{et par individu), que l'on suppose}\\\text{constants.}\\ \ \\\text{1. En notant }N_0\text{ la population de départ,}\\\text{exprimer }N\text{ en fonctuion de }\beta\text{ de }\delta\\\text{et de }N_0\\ \ \\\text{2. Si la fertilité l'emporte sur la morta-}\\\text{lité,}\text{ c'est-à-dire si }\beta>\delta\text{, le modèle}\\\text{prévoit une croissance « exponen-}\\\text{tielle ».}\\\text{Justifier cette expression.}\\ \ \\\text{3. Si, au contraire, }\beta<\delta\text{ préciser le}\\\text{type de croissance du modèle.}$