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Maths SM&SP

Analyse

Level 3

\text{On considère la fonction }f\text{ définie}\\\text{sur }]0;+\infty[\text{ par }f(x)=\int_1^x\large\frac{e^t}{t}\normalsize\mathrm{~d}t.\\ \ \\1.\text{ Justifier que }f\text{ est définie et}\\\text{dérivable sur }]0;+\infty[,\text{ déterminer}\\f^{\prime}(x)\text{ puis les variations de }f.\\ \ \\2.\text{ En déduire le tableau}\\\text{de signe de }f(x).\\ \ \\3.\text{ Démontrer que pour tout}\\\text{réel }t\in]0;+\infty[,\quad\large\frac{e^t}{t}\normalsize\geq\large\frac{1}{t}\normalsize.\\ \ \\4.\text{ Déduire du 3. que pour tout}\\x\in[1;+\infty[,\quad f(x)\geq\ln x\\ \ \\5.\text{ Déduire du 3. que pour}\\\text{tout }x\in]0;1],\quad f(x)\leq\ln x\\ \ \\6.\text{ Déduire }\lim_{x \rightarrow+\infty}f(x)\\\text{et }\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x).

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Level 4

\text{Soient }f\text{ et }h\text{ les fonctions}\\\text{définies sur }\mathbb{R}\text{ par :}\\f(x)=\large\frac{3}{1+\mathrm{e}^{-2 x}}\normalsize\\h(x)=3-f(x).\\ \ \\1.\text{ Justifier que la fonction }h\text{ est}\\\text{positive sur }\mathbb{R}.\\ \ \\2.\text{ Soit }H\text{ la fonction définie sur }\mathbb{R}\\\text{par }H(x)=-\frac{3}{2}\ln\left(1+\mathrm{e}^{-2 x}\right).\\\text{Démontrer que }H\text{ est une primitive}\\\text{de }h\text{ sur }\mathbb{R}.\\ \ \\3.\text{ Soit }a\text{ un réel strictement positif.}\\a.\text{ Donner une interprétation}\\\text{graphique }\text{de l'intégrale }\int_0^ah(x)\mathrm{d}x.\\ \ \\b.\text{ Démontrer que}\\\int_0^ah(x)\mathrm{d}x=\frac{3}{2}\ln\left(\large\frac{2}{1+\mathrm{e}^{-2 a}}\normalsize\right)\\ \ \\c.\text{ On note }\mathcal{D}\text{ l'ensemble des}\\\text{points }M(x;y)\text{ du plan définis par}\\\quad\quad\left\{\begin{array}{l}x\geq 0\\f(x)\leq y\leq 3\end{array}\right.\\\text{Déterminer l'aire, en unité d'aire,}\\\text{du domaine }\mathcal{D}.

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Level 5

\text{L'objectif de cet exercice est}\\\text{de calculer : }\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{~d}x.\\ \ \\\text{On considère la fonction }f\\\text{définie par }f(x)=\sqrt{1-x^2}.\\ \ \\1)\text{ Déterminer le domaine de}\\\text{définition de la fonction }f.\\ \ \\2)\text{ Quelle conjecture peut-on}\\\text{faire concernant la courbe de}\\\text{la fonction }f\text{ ?}\\\text{Démontrer cette conjecture.}\\ \ \\3)\text{ En déduire la valeur de}\\\text{l'intégrale }\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{~d}x

.

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Analyse

Level 3

\text{Soit un entier }n\geq 1.\\\text{On note }f_n\text{ la fonction définie pour}\\\text{tout réel }x\text{ de l'intervalle }[0;1]\text{ par}\\f_n(x)=\large\frac{1}{1+x^n}\normalsize.\\\text{Pour tout entier }n\geq 1\text{, on note }\\\mathrm{I}_n=\int_0^1f_n(x)\mathrm{d}x.\\ \ \\1)\text{ Déterminer }I_1.\\ \ \\2)\text{ Démontrer que, pour tout réel}\\x\in[0;1]\text{ et pour tout entier }n\geq 1\text{,}\\\text{on a :}\quad 1-x^n\leq\large\frac{1}{1+x^n}\normalsize\leq 1\\ \ \\3)\text{ En déduire que la suite }\left(I_n\right)\text{ est}\\\text{convergente et préciser sa limite.}

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Level 3

\text{Calculer }\mathrm{J}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{e}^x\sin(\mathrm{x})\mathrm{dx}

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