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Maths SM&SP
Algèbre
Level 4
On cherche aˋ reˊsoudrel’eˊquation (E):(E):11x2−7y2=5. L’objectif de cet exercice est demontrer que l’eˊquation (E) n’admetpas de solution entieˋre.On suppose qu’il existe unesolution (x,y) de (E): 1. Montrer que (E) peut se mettresous la forme :x2≡2y2[5].On pourra raisonner modulo 5. 2. Deˊterminer aˋ quoi sont congrusx2 et 2y2 en fonction de x modulo5 et y modulo 5. 3. Montrer que x et y sont desmultiples de 5. 4. Conclure.
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Algèbre
Level 4
On cherche aˋ deˊterminer un criteˋre de divisibiliteˊ par 7.On admet le reˊsultat suivant : Soit n∈N. On consideˋre la diffeˊ-rence entre le double du chiffredes uniteˊs de n et le nombre formeˊpar les autres chiffres de n.n est divisible par 7 si et seule-ment si cette diffeˊrence estdivisible par 7. 1. Deˊterminer en appliquant cecriteˋre si 4361 est divisible par 7. 2. Meˆme question avec 542. 3. Dans cette question, on sepropose de deˊmontrer ce criteˋredans le cas d’un nombre n aˋ troischiffres. On note alors :n=abc avec a diffeˊrent de 0 a. Montrer que n≡2a+3b+c[7] b. On appelle m la diffeˊrence deˊcrite dans le criteˋre. Montrer que m≡2a+3b−2c[7] c. En deˊduire que n−3m≡0[7] et m+2n≡0[7] d. En deˊduire que m≡0[7] si et seulement si n≡0[7]
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