On consideˋre la fonction f deˊfiniesur ]0;+∞[ par f(x)=∫1xtetdt.1. Justifier que f est deˊfinie etdeˊrivable sur ]0;+∞[, deˊterminerf′(x) puis les variations de f.2. En deˊduire le tableaude signe de f(x).3. Deˊmontrer que pour toutreˊel t∈]0;+∞[,tet≥t1.4. Deˊduire du 3. que pour toutx∈[1;+∞[,f(x)≥lnx5. Deˊduire du 3. que pourtout x∈]0;1],f(x)≤lnx6. Deˊduire limx→+∞f(x)et limx→0x>0f(x).
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Analyse
Level 4
Soient f et h les fonctionsdeˊfinies sur R par :f(x)=1+e−2x3h(x)=3−f(x).1. Justifier que la fonction h estpositive sur R.2. Soit H la fonction deˊfinie sur Rpar H(x)=−23ln(1+e−2x).Deˊmontrer que H est une primitivede h sur R.3. Soit a un reˊel strictement positif.a. Donner une interpreˊtationgraphique de l’inteˊgrale ∫0ah(x)dx.b. Deˊmontrer que∫0ah(x)dx=23ln(1+e−2a2)c. On note D l’ensemble despoints M(x;y) du plan deˊfinis par{x≥0f(x)≤y≤3Deˊterminer l’aire, en uniteˊ d’aire,du domaine D.
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Analyse
Level 5
L’objectif de cet exercice estde calculer : ∫−111−x2dx.On consideˋre la fonction fdeˊfinie par f(x)=1−x2.1) Deˊterminer le domaine dedeˊfinition de la fonction f.2) Quelle conjecture peut-onfaire concernant la courbe dela fonction f ?Deˊmontrer cette conjecture.3) En deˊduire la valeur del’inteˊgrale ∫−111−x2dx.
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Analyse
Level 3
Soit un entier n≥1.On note fn la fonction deˊfinie pourtout reˊel x de l’intervalle [0;1] parfn(x)=1+xn1.Pour tout entier n≥1, on note In=∫01fn(x)dx.1) Deˊterminer I1.2) Deˊmontrer que, pour tout reˊelx∈[0;1] et pour tout entier n≥1,on a :1−xn≤1+xn1≤13) En deˊduire que la suite (In) estconvergente et preˊciser sa limite.