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Terminale

Maths Spé

Géométrie

Vecteurs droites et plans

Exercice

Dans un cube $\mathrm{A B C D E F G H}$, on considère les points $\mathrm M$ et $\mathrm N$ définis par les relations suivantes.
$\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BG}}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{DN}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{DC}}+2 \overrightarrow{\mathrm{DH}}$
 
$\quad$. Démontrer que $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AE}}$.
 
$\quad$. Démontrer de même que $\overrightarrow{A N}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+2 \overrightarrow{A E}$.
 
$\quad$. Calculer alors le vecteur $4 \overrightarrow{\mathrm{AM}}-\overrightarrow{\mathrm{AN}}$.

Dans le cube $\mathrm{A B C D E F G H}$, on place le point $\mathrm R$ milieu du segment [EH].
 
$\quad$. Démontrer que les points $\mathrm B$, $\mathrm R$ et $\mathrm G$ définissent bien un plan.
 
$\quad$. En donner une caractérisation.
 
$\quad$. Démontrer que le milieu du segment $[\mathrm{AE}]$ appartient à ce plan.

Dans un cube $\mathrm{A B C D E F G H}$, représenter les vecteurs $\vec{a}$, $\vec{b}$ et $\vec{c}$ donnés par:
$\vec{a}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C G}+\overrightarrow{F H}$ 
$\vec{b}=2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{F C}$
$\vec{c}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{B F}-\overrightarrow{A C}$
 
<a href="undefined">PP ReprÃ©senter des combinaisons linÃ©aires</a>
 
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Dans un cube $\mathrm{A B C D E F G H}$ :
 
$\quad$. Donner une caractérisation du plan $(\mathrm{BEG})$ à l'aide d'un point et de deux vecteurs non colinéaires.
 
$\quad$. Justifier que le point $\mathrm P$ centre de la face $\mathrm{A B F E}$ appartient au plan $(\mathrm{BEG})$.