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Maths Spé

Géométrie

Bases et repères de l'espace

Exercice

On considère un tétraèdre $\mathrm{A B C D}$, le point $I$ milieu du segment $[\mathrm{C D}]$ et le point $\mathrm{K}$ tel que $4 \overrightarrow{\mathrm{A K}}=2 \overrightarrow{\mathrm{A B}}+\overrightarrow{\mathrm{A C}}+\overrightarrow{\mathrm{A D}}$. Démontrer que les points $B$, $I$ et $K$ sont alignés en utilisant des coordonnées dans le repère $(A ; \overrightarrow{\mathrm{A B}},\overrightarrow{\mathrm{A C}}, \overrightarrow{\mathrm{A D}})$.
 
<a href="undefined">PP RepÃ¨re et coordonnÃ©es</a>

Dans l'espace muni d'un repère d'origine $O$, on donne les points suivants $\mathrm{A}(2 ; 0 ;-1)$, $\mathrm{B}(1 ;-4 ; 8)$ et $C(7 ;-12 ; 22)$. Déterminer si les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{O A}}$, $\overrightarrow{\mathrm{O B}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{O C}}$ forment une base de l'espace.
 
<a href="undefined">PP Base</a>
 
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<a href="undefined">PP Base</a>
 
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Donner une représentation paramétrique de la droite $(\mathrm{AB})$ où $\mathrm{A}(-3 ; 4 ;-2)$ et $\mathrm{B}(-1 ;-1 ; 2)$.

Ensuite, donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par le point $\mathrm{C}(2 ; 9 ; 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\left(1; -2; -1\right)$.