Maths

Algèbre

Level 3

À quelle condition existe-t-il des matrices

A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

vérifiant

(A B-B A)^{2}=\mathrm{I}_{n}

?

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

f

un endomorphisme non nul de

\mathbb{R}^{3}

vérifiant

f^{3}+f=0

.
(a) Montrer que

f

n'est pas surjectif.
(b) Montrer que

f

n'est pas diagonalisable et que

\mathbb{R}^{3}=\operatorname{Im} f \oplus \operatorname{Ker} f

.
(c) Montrer que, pour tout

x \in E \backslash \operatorname{Ker} f

, la famille

\left(f(x), f^{2}(x)\right)

est une base de Im

f

et calculer la trace de

f

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

E

et

F

deux

\mathbb{R}

-espaces vectoriels de dimension finie,

n=\operatorname{dim} E, p=\operatorname{dim} F

.
Soit

f \in \mathcal{L}(E, F)

. On note

H=\{g \in \mathcal{L}(F, E), f \circ g \circ f=0\}

(a) Si

f

est bijectif, montrer

H=\{0\}

.
(b) Montrer que

\operatorname{dim} H=n p-r^{2}

avec

r=\operatorname{rg} f

.
(c) On suppose que

E=F

et on définit l'application

\varphi: g \mapsto f \circ g \circ f

. Montrer

\operatorname{tr} \varphi=(\operatorname{tr} f)^{2}

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

A_{1}, \ldots, A_{k} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

vérifiant

A_{1}+\cdots+A_{k}=\mathrm{I}_{n} \text { et } \forall i \text{ tel que }1 \leq i \leq k, A_{i}^{2}=A_{i} \text {. }

Montrer

\forall 1 \leq i \neq j \leq k, A_{i} A_{j}=\mathrm{O}_{n}

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Maths

Algèbre

Level 5

Soit

E

un

\mathbb{R}

-espace vectoriel de dimension finie

n>1

.
Montrer que

f \in \mathcal{L}(E)

de rang 1 n'est pas forcément un projecteur.
Montrer que

f \in \mathcal{L}(E)

de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base de

\mathcal{L}(E)

constituée de projecteurs.

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Maths

Algèbre

Level 3

Pour

A

et

B

fixées dans

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

, résoudre dans

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

l'équation

X=\operatorname{tr}(X) A+B

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

.
Calculer la trace de l'endomorphisme

f \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

donné par

f(M)=A M+M A

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Maths

Algèbre

Level 3

(a) Soit

f

une forme linéaire sur

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

vérifiant

\forall A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), f(A B)=f(B A)

Montrer que

f

est proportionnelle à la trace.
(b) Soit

g

un endomorphisme de l'espace vectoriel

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

vérifiant

g(A B)=g(B A)

pour toutes

A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

et

g\left(I_{n}\right)=I_{n}

.
Montrer que

g

conserve la trace.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

f

une forme linéaire sur

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

vérifiant

\forall A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), f(A B)=f(B A)

Montrer que

f

est proportionnelle à la trace.

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Maths

Algèbre

Level 4

(a) Soit

G

un sous-groupe fini de

\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})

tel que

\sum_{g \in G} \operatorname{tr} g=0

. Montrer que

\sum_{g \in G} g=0

(b) Soit

G

un sous-groupe fini de

\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}), V

un sous-espace vectoriel de

\mathbb{R}^{n}

stable par les éléments de

G

. Montrer qu'il existe un supplémentaire de

V

dans

\mathbb{R}^{n}

stable par tous les éléments de

G

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

\mathbb{K}=\mathbb{R}

ou

\mathbb{C}

et

H

une partie non vide et finie de

\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})

stable par multiplication.
(a) Soit

M \in H

. Montrer que

k \in \mathbb{N}^{*} \mapsto M^{k} \in H

n'est pas injective. En déduire que

H

est un sous-groupe de

\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})

.
Soient

q=|H| \text { et } P=\frac{1}{q} \sum_{M \in H} M

(b) Montrer, si

M \in H

, que

M P=P M=P

. En déduire

P^{2}=P

.
(c) Trouver un supplémentaire, dans

\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K})

, stable par tous les éléments de

H

, de

\bigcap_{M \in H} \operatorname{Ker}\left(M-I_{n}\right)

(d) Montrer que

\sum_{M \in H} \operatorname{tr} M \in q \mathbb{N}

Que dire si cette somme est nulle?

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Maths

Algèbre

Level 5

(a) Dans un espace de dimension finie, pourquoi le rang d'un projecteur est-il égal à sa trace?
(b) Soit

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

vérifiant

A^{q}=I_{n}

.Montrer

\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A-I_{n}\right)=\frac{1}{q} \sum_{k=0}^{q-1} \operatorname{tr}\left(A^{k}\right)

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Maths

Algèbre

Level 3

On note tr la forme linéaire trace sur

E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

.
Établir

\operatorname{Ker}(\operatorname{tr})=\operatorname{Vect}\{[A, B] \mid A, B \in E\}

où l'on note

[A, B]=A B-B A

.

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

\varphi

une forme linéaire sur

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

.
Montrer qu'il existe

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

tel que pour tout

M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), \varphi(M)=\operatorname{tr}(A M)

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

M

une matrice carrée de taille

n

à coefficients dans

\mathbb{K}

sous-corps de

\mathbb{C}

.
Montrer que si

\operatorname{tr} M=0

, il existe deux matrices

A

et

B

telles que

M=A B-B A

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Maths

Algèbre

Level 2

Soient

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

et

\varphi

l'endomorphisme de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

défini par

\varphi(M)=M A

Exprimer la trace de

\varphi

en fonction de celle de

A

.

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Maths

Algèbre

Level 2

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie et

f \in \mathcal{L}(E)

de rang 1 . Montrer

f^{2}=\operatorname{tr}(f) f

À quelle condition un endomorphisme de rang 1 est-il un projecteur?

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Maths

Algèbre

Level 4

Existe-t-il des matrices

A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

vérifiant

A B - B A=I_{n} ?

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

.
(a) Exprimer le rang de

M=\left(\begin{array}{ll}A & A \\A & B\end{array}\right)

(b) Calculer l'inverse de

M

lorsque cela est possible.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 1 \\0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right)

Calculer

A^{n}

pour tout

n \in \mathbb{Z}

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

A, B, C, D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

et

M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\C & D\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2 n}(\mathbb{K})

On suppose que les matrices

A, D

et

M

sont inversibles.
Exprimer

M^{-1}

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

et

B=\left(\begin{array}{cc}O_{n} & A \\I_{n} & O_{n}\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2 n}(\mathbb{K})

(a) Montrer que

A

est inversible si, et seulement si,

B

l'est.
(b) Calculer

B^{p}

pour tout

p \in \mathbb{N}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

A \in \mathrm{GL}_{p}(\mathbb{R}), B \in \mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{R}), C \in \mathcal{M}_{q}(\mathbb{R})

et

M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\O_{q, p} & C\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{p+q}(\mathbb{R})

Déterminer le rang de

M

en fonction de celui de

C

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), B \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{K}), C \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K})

et

M=\left(\begin{array}{cc}A & C \\O_{p, n} & B\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n+p}(\mathbb{K})

On suppose

B

inversible. Établir

\operatorname{rg} M=p \Longleftrightarrow A=O_{n}

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

B \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K})

et

C \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})

.
Montrer

\operatorname{rg}\left(\begin{array}{cc}I_{n} & B \\O_{p, n} & C\end{array}\right)=n+\operatorname{rg} C

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), B \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})

et

M

la matrice

M=\left(\begin{array}{cc}A & O_{n, p} \\O_{p, n} & B\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n+p}(\mathbb{K})

Établir

\operatorname{rg} M=\operatorname{rg} A+\operatorname{rg} B .

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Maths

Algèbre

Level 5

Soient

A, B, C, D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

.
(a) On note

\left(\begin{array}{ll}A & B\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 2 n}(\mathbb{K})

la matrice obtenue en accolant les colonnes de

B

à droite de celles de

A

.
Montrer

\operatorname{rg}\left(\begin{array}{ll}A & B\end{array}\right)=\operatorname{rg} A \Longleftrightarrow \exists U \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), B=A U

(b) On note

\left(\frac{A}{C}\right) \in \mathcal{M}_{2 n, n}(\mathbb{K})

la matrice obtenue en accolant les lignes de

C

en dessous de celles de

A

.
Montrer

\operatorname{rg}\left(\frac{A}{C}\right)=\operatorname{rg} A \Longleftrightarrow \exists V \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), C=V A

(c) En déduire

\operatorname{rg}\left(\begin{array}{ll}A & B \\C & D\end{array}\right)=\operatorname{rg} A \Longleftrightarrow \exists U, V \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\left(\begin{array}{cc}A & B \\C & D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A & A U \\V A & V A U\end{array}\right)

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)

et

\left(Y_{1}, \ldots, Y_{n}\right)

deux familles libres d'éléments de

\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})

.
Établir que la famille

\left(X_{i}^{t} Y_{j}\right)_{1 \leq i, j \leq n}

est une base de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

constituée de matrices de rang 1.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

H \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})

une matrice de rang 1 .
(a) Montrer qu'il existe des matrices

U, V \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K})

telles que

H=U^{t} V

.
(b) En déduire

H^{2}=\operatorname{tr}(H) H

(c) On suppose

\operatorname{tr} H \neq-1

. Montrer que

\mathrm{I}_{n}+H

est inversible et

\left(\mathrm{I}_{n}+H\right)^{-1}=\mathrm{I}_{n}-\frac{1}{1+\operatorname{tr} H} H

(d) Soient

A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})

telle que

\operatorname{tr}\left(H A^{-1}\right) \neq-1

. Montrer que

A+H

est inversible et

(A+H)^{-1}=A^{-1}-\frac{1}{1+\operatorname{tr}\left(H A^{-1}\right)} A^{-1} H A^{-1}

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

A

une matrice carrée de rang 1
. Montrer qu'il existe

\lambda \in \mathbb{K}

tel que

A^{2}=\lambda A

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

G

un groupe multiplicatif formé d'éléments de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

.
Montrer que les éléments de

G

ont tous le même rang.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})

et

B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})

matrices de rang 2 vérifiant

(A B)^{2}=A B

.
Montrer

B A=I_{2}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})

et

B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})

telles que

A B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array}\right)

(a)

Déterminer les rangs de

A

et

B

.

(b)

Calculer

B A

en observant

(A B)^{2}=A B

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

A

et

B

deux matrices carrées d'ordre 3 telles que

A B=O_{3}

.
Montrer que l'une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à 1.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

n \in \mathbb{N}^{*}

et

M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

définie par

M=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 1 & 1 & \ddots & \vdots \\\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\0 & & \ddots & \ddots & 1 \\1 & 0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right)

(a)

Donner le rang de

M

et la dimension de son noyau.

(b)

Préciser noyau et image de

M

.

(c)

Calculer

M^{n}

.

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Maths

Algèbre

Level 5

Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres :
(a)

\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b+c & c+a & a+b \\ b c & c a & a b\end{array}\right)

(b)

\left(\begin{array}{ccc}1 & \cos \theta & \cos 2 \theta \\ \cos \theta & cos 2 \theta & cos 3 \theta \\ cos 2 \theta & cos 3 \theta & cos 4 \theta\end{array}\right)

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Maths

Algèbre

Level 2

Calculer le rang des applications linéaires suivantes :
(a)

f: \mathbb{K}^{3} \rightarrow \mathbb{K}^{3}

définie par

f(x, y, z)=(-x+y+z, x-y+z, x+y-z)

(b)

f: \mathbb{K}^{3} \rightarrow \mathbb{K}^{3}

définie par

f(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x) .

(c)

f: \mathbb{K}^{4} \rightarrow \mathbb{K}^{4}

définie par

f(x, y, z, t)=(x+y-t, x+z+2 t, 2 x+y-z+t,-x+2 y+z) .

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Maths

Algèbre

Level 2

Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de

\mathbb{R}^{3}

:
(a)

\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)

avec

x_{1}=(1,1,0), x_{2}=(1,0,1)

et

x_{3}=(0,1,1)

(b)

\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)

avec

x_{1}=(2,1,1), x_{2}=(1,2,1)

et

x_{3}=(1,1,2)

(c)

\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)

avec

x_{1}=(1,2,1), x_{2}=(1,0,3)

et

x_{3}=(1,1,2)

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

f

un endomorphisme non nul d'un

\mathbb{R}

-espace vectoriel

E

de dimension 3 vérifiant

f^{3}+f=0

.
(a) Soit

x \in E

. Démontrer que si

x=y+z

avec

y \in \operatorname{Ker} f

et

z \in \operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right)

alors

y=x+f^{2}(x)

et

z=-f^{2}(x)

.
(b) Montrer que

E=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right)

.
(c) Prouver

\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right) \geq 1

. Montrer que, si

x \in \operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right) \backslash\{0\}

alors

(x, f(x))

est une famille libre de

\operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right)

.
(d) Que vaut

\operatorname{det}(-\mathrm{Id})

? En déduire

\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right)=2

.
(e) Déterminer une base de

E

dans laquelle la matrice de

f

est

\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 \\0 & 1 & 0\end{array}\right)

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension

n \in \mathbb{N}^{*}

et

f \in \mathcal{L}(E)

tel que

f^{n}=0

et

f^{n-1} \neq 0

.
Montrer qu'il existe une base

\mathcal{B}

de

E

pour laquelle :

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & & 0 \\& \ddots & \ddots & \\& & \ddots & 1 \\0 & & & 0\end{array}\right)

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\-1 & 2 & -1 \\-1 & -1 & 2\end{array}\right)

On note

\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)

la base canonique de

\mathbb{R}^{3}

. $$ Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est $A$.
(a) Déterminer $\operatorname{Ker} f$ et $\operatorname{Im} f$. Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^{3}$.
(b) Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de $f$ dans cette base.
(c) Décrire $f$ comme composée de transformations vectorielles élémentaires.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel muni d'une base

\mathcal{B}=(i, j, k)

.
Soit

f

l'endomorphisme de

E

dont la matrice dans

\mathcal{B}

est

A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\1 & 0 & -1 \\1 & -1 & 0\end{array}\right)

(a) Calculer

A^{2}

. Qu'en déduire sur

f

?
(b) Déterminer une base de

\operatorname{Im} f

et

\operatorname{Ker} f

.
(c) Quelle est la matrice de

f

relativement à une base adaptée à la supplémentarité de

\operatorname{Im} f

et

\operatorname{Ker} f

?

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

f

un endomorphisme d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

de dimension

n \in \mathbb{N}^{*}

vérifiant

f^{n}=0 \text { et } f^{n-1} \neq 0 \text {. }

(a) Justifier qu'il existe un vecteur

x \in E

tel que la famille

\mathcal{B}=\left(x, f(x), f^{2}(x), \ldots, f^{n-1}(x)\right)

forme une base de

E

.
(b) Déterminer les matrices de

f, f^{2}, \ldots, f^{n-1}

dans cette base.
(c) En déduire que

\{g \in \mathcal{L}(E) \mid g \circ f=f \circ g\}=\operatorname{Vect}\left(\operatorname{Id}, f, f^{2}, \ldots, f^{n-1}\right)

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension 3 et

f \in \mathcal{L}(E)

tel que

f^{2} \neq 0

et

f^{3}=0

.
Montrer qu'il existe une base de

E

dans laquelle la matrice de

f

est

\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\end{array}\right)

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

\varphi

l'endomorphisme de

\mathbb{R}_{n}[X]

défini par

\varphi(P)=P(X+1)

.
(a) Écrire la matrice

A

de

\varphi

dans la base canonique

\mathcal{B}

de

\mathbb{R}_{n}[X]

.
(b) Justifier que

A

est inversible et calculer

A^{-1}

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de

\mathbb{R}^{3}

suivants :

P=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+2 y-z=0\right\} \text { et } D=\operatorname{Vect}(w) \text { où } w=(1,0,-1)

On note

\mathcal{B}=(i, j, k)

la base canonique de

\mathbb{R}^{3}

.
On note

p

la projection vectorielle sur

P

parallèlement à

D

,

q

celle sur

D

parallèlement à

P

, et enfin,

s

la symétrie vectorielle par rapport à

P

et parallèlement à

D

.
(a) Former la matrice de

p

dans

\mathcal{B}

.
(b) En déduire les matrices, dans

\mathcal{B}

, de

q

et de

s

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

a \in \mathbb{C}^{*}

et

f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}

définie par

f(z)=z+a \bar{z}

.
(a) Former la matrice de l'endomorphisme

f

du

\mathbb{R}

-espace vectoriel

\mathbb{C}

dans la base

(1, i)

.
(b) Déterminer image et noyau de

f

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires

f

suivantes :
(a)

f:\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^{3} & \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\(x, y, z) & \mapsto(x+y, y-2 x+z)\end{aligned}\right.

(b)

f:\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^{3} & \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\(x, y, z) & \mapsto(y+z, z+x, x+y)\end{aligned}\right.

(c)

f:\left\{\begin{aligned} \mathbb{R}_{3}[X] & \rightarrow \mathbb{R}_{3}[X] \\ P & \mapsto P(X+1)\end{aligned}\right.

<br/> (d)

f:\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}_{3}[X] & \rightarrow \mathbb{R}^{4} \\P & \mapsto(P(1), P(2),\end{aligned}\right.

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