Maths

Analyse

Level 3

Soit

\varphi:]-1 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}

la fonction définie par

\varphi(s)=s-\ln (1+s)

pour tout

s>-1

.
(a) Montrer que

\varphi

définit par restriction aux intervalles

]-1 ; 0]

et

[0 ;+\infty[

une bijection

\left.\left.\varphi_{-}:\right]-1 ; 0\right] \rightarrow\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.

et une bijection

\varphi_{+}:[0 ;+\infty[\rightarrow[0 ;+\infty[

.
(b) Donner un équivalent de

\varphi(s)

lorsque

s

tend vers 0 et en déduire des équivalents des bijections réciproques

\varphi_{+}

et

\varphi_{-}

en 0 par valeurs supérieures.
(c) Former un développement asymptotique à trois termes de

\varphi_{+}

et

\varphi_{-}

en

0^{+}

.

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Maths

Analyse

Level 4

Former le développement asymptotique en

+\infty

de l'expression considérée à la précision demandée :
(a)

\sqrt{x+1}

à la précision

1 / x^{3 / 2}

.
(b)

x \ln (x+1)-(x+1) \ln x

à la précision

1 / x^{2}

.
(c)

\left(\frac{x+1}{x}\right)^{x}

à la précision

1 / x^{2}

.

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Maths

Analyse

Level 3

Former le développement asymptotique en 0 de l'expression considérée à la précision demandée :\\ (a)

\frac{\ln (1+x)}{\sqrt{x}}

à la précision

x^{5 / 2}

\\ (b)

x^{x}

à la précision

(x \ln x)^{2}

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Maths

Analyse

Level 4

Soit

f:] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}

l'application définie par

f(x)=\int_{x}^{x^{2}} \frac{\mathrm{d} t}{\ln t}

(a)

Montrer que

f

est convexe sur

] 0 ; 1[

et

] 1 ;+\infty[

.

(b)

Montrer que, pour tout

x>1

on a:

\int_{x}^{x^{2}} \frac{x \mathrm{~d} t}{t \ln t} \leq \int_{x}^{x^{2}} \frac{\mathrm{d} t}{\ln t} \leq \int_{x}^{x^{2}} \frac{x^{2} \mathrm{~d} t}{t \ln t}

En déduire que

\lim _{x \rightarrow 1+} f(x)=\ln 2

. De même, établir :

\lim _{x \rightarrow 1-} f(x)=\ln 2

.

(c)

On prolonge

f

par continuité en 1 , en posant

f(1)=\ln 2

. Montrer que

f

ainsi prolongée est de classe

\mathcal{C}^{2}

sur

] 0 ;+\infty[

. Établir la convexité de

f

sur

] 0 ;+\infty[

.

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Maths

Analyse

Level 4

Soit

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

définie par

f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-1 / x^{2}} & \text { si } x \neq 0 \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}

\
Montrer que

f

est de classe

\mathcal{C}^{\infty}

et que pour tout

n \in \mathbb{N}, f^{(n)}(0)=0.<br/> C'est ici un exemple de fonction non nulle dont tous les

D L_{n}(0)$ sont nuls.

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Maths

Analyse

Level 4

Montrer que la fonction

f: x \mapsto \frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}

peut être prolongée en une fonction de classe

\mathcal{C}^{1}

sur

\mathbb{R}

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Maths

Analyse

Level 3

Soient

a

un réel non nul et

f

la fonction définie au voisinage de 0 par

f(x)=\frac{\ln (1+a x)}{1+x}

Déterminer les éventuelles valeurs de

a

pour lesquelles

f

présente un point d'inflexion en 0.

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Maths

Analyse

Level 3

Soit

f:]-1 ; 0[\cup] 0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}

définie par

f(x)=\frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}}

Montrer que

f

peut être prolongée par continuité en 0 et que ce prolongement est alors dérivable en 0.
Quelle est alors la position relative de la courbe de

f

par rapport à sa tangente en ce point?

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Maths

Analyse

Level 3

Soient

n \in \mathbb{N}, n \geq 2

et

f

l'application de

\mathbb{R}

dans

\mathbb{R}

définie par\\

f(x)=x^{n} \sin \left(\frac{1}{x}\right) \text { si } x \neq 0 \text { et } f(0)=0 \text {. }

\\ (a) Montrer que

f

est dérivable sur

\mathbb{R}

.\\ (b)

f

admet-elle un développement limité en 0 ? si oui à quel ordre maximal?

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Maths

Analyse

Level 4

Montrer que l'application

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

définie par

f(x)=x \mathrm{e}^{x^{2}}

admet une application réciproque définie sur

\mathbb{R}

et former le

D L_{5}(0)

de

f^{-1}

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Maths

Analyse

Level 3

Pour

n \in \mathbb{N}

, déterminer le développement limité à l'ordre

2 n+2

de

x \mapsto \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}

.
On pourra commencer par calculer la dérivée de cette fonction.

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Maths

Analyse

Level 3

Exprimer le développement limité général en 0 de

\arcsin x

.

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Analyse

Level 3

Pour

\alpha=-1 / 2

et

k \in \mathbb{N}

, exprimer

\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-k+1)}{k !}

à l'aide de nombres factoriels.
En déduire une expression du

D L_{2 n+1}(0)

de

\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

puis du

D L_{2 n+2}(0)

de

\arcsin (x)

.

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Maths

Analyse

Level 3

Exprimer le développement limité à l'ordre

n

en 0 de

\frac{1}{\sqrt{1-x}}

à l'aide de nombres factoriels.

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Maths

Analyse

Level 4

Déterminer les développements limités suivants :
(a)

D L_{10}(0)

de

\int_{x}^{x^{2}} \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1+t^{4}}}

(b)

D L_{1000}(0) \operatorname{de} \ln \left(\sum_{k=0}^{999} \frac{x^{k}}{k !}\right)

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Maths

Analyse

Level 3

Former le

D L_{3}(1)

de

\arctan x

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Maths

Analyse

Level 3

Déterminer les développements limités suivants :
(a)

D L_{3}(0)

de

\ln \left(\frac{x^{2}+1}{x+1}\right)

(b)

D L_{3}(0)

de

\sqrt{3+\cos x}

(c)

D L_{2}(0)

de

(1+x)^{1 / x}

(d)

D L_{3}(0)

de

\frac{\ln (1+x)}{\mathrm{e}^{x}-1}

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Maths

Analyse

Level 4

Déterminer les développements limités suivants :
(a)

D L_{3}(0)

de

\frac{x-\sin x}{1-\cos x}

(b)

D L_{2}(0)

de

\frac{\sin (x)}{\exp (x)-1}

(c)

D L_{3}(0)

de

\frac{x \operatorname{ch} x-\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x-1}

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Maths

Analyse

Level 3

Déterminer les développements limités suivants :
(a)

D L_{3}(0)

de

\frac{\ln (1+x)}{\mathrm{e}^{x}-1}

(b)

D L_{2}(0)

de

\frac{\arctan x}{\tan x}

(c)

D L_{2}(1)

de

\frac{x-1}{\ln x}

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Maths

Analyse

Level 4

Déterminer les développements limités suivants :
(a)

D L_{2}(0)

de

(1+x)^{1 / x}

(b)

D L_{4}(0)

de

\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)

(c)

D L_{4}(0)

de

\ln \left(\frac{\operatorname{sh} x}{x}\right)

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Maths

Analyse

Level 4

Déterminer les développements limités suivants :
(a)

D L_{3}(0)

de

\mathrm{e}^{\sqrt{1+x}}

(b)

D L_{3}(0)

de

\ln (1+\sqrt{1+x})

(c)

D L_{3}(0)

de

\ln \left(3 \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)

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Maths

Analyse

Level 3

Déterminer les développements limités suivants :
(a)

D L_{3}(0)

de

\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)

(b)

D L_{3}(0)

de

\ln (2+\sin x)

(c)

D L_{3}(0)

de

\sqrt{3+\cos x}

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Maths

Analyse

Level 2

Déterminer les développements limités suivants :
(a)

D L_{3}(0)

de

\ln \left(\frac{x^{2}+1}{x+1}\right)

(b)

D L_{3}(0)

de

\ln (1+\sin x)

(c)

D L_{3}(1)

de

\cos (\ln (x))

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Maths

Analyse

Level 4

Déterminer les développements limités suivants :
(a)

D L_{3}(\pi / 4)

de

\sin x

(b)

D L_{4}(1)

de

\frac{\ln x}{x^{2}}

(c)

D L_{5}(0)

de

\operatorname{sh} x \operatorname{ch}(2 x)-\operatorname{ch} x

.

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Maths

Analyse

Level 2

On considère la suite

\left(u_{n}\right)

définie pour

n \geq 1

par

u_{n}=\sqrt{n+\sqrt{(n-1)+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{1}}}}

<br/> (a) Montrer que

\left(u_{n}\right)

diverge vers

+\infty

.<br/> (b) Exprimer

u_{n+1}

en fonction de

u_{n}

.<br/> (c) Montrer que

u_{n} \leq n

puis que

u_{n}=\mathrm{o}(n)

.<br/> (d) Donner un équivalent simple de

\left(u_{n}\right)

.<br/> (e) Déterminer

\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}-\sqrt{n}$.

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Maths

Analyse

Level 4

On étudie l'équation

\tan x=x

d'inconnue

x

réelle.
(a) Soit

n \in \mathbb{N}

. Montrer que cette équation possède une unique solution

x_{n}

dans l'intervalle

\left.I_{n}=\right]-\pi / 2 ; \pi / 2[+n \pi

.
(b) Déterminer un équivalent de la suite

\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}

ainsi définie.
(c) Réaliser un développement asymptotique à trois termes de

x_{n}

.

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Maths

Analyse

Level 4

Soit

f(x)=(\cos x)^{1 / x}

et

(\mathcal{C})

le graphe de

f

.
(a) Montrer l'existence d'une suite

\left(x_{n}\right)

vérifiant :
(b)

\left(x_{n}\right)

est croissante positive.
ii) la tangente à

(\mathcal{C})

en

\left(x_{n}, f\left(x_{n}\right)\right)

passe par

O

.
(c) Déterminer un développement asymptotique à 2 termes de

\left(x_{n}\right)

.

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Maths

Analyse

Level 4

(a) Soit

n \in \mathbb{N}

. Montrer que l'équation

x^{n}+\ln x=0

possède une unique solution

x_{n}>0

.
(b) Déterminer la limite de

x_{n}

.
(c) On pose

u_{n}=1-x_{n}

. Justifier que

n u_{n} \sim-\ln u_{n}

puis déterminer un équivalent de

u_{n}

.

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Maths

Analyse

Level 4

Pour

n \geq 2

, on considère le polynôme

P_{n}=X^{n}-n X+1

(a) Montrer que

P_{n}

admet exactement une racine réelle entre 0 et 1 , notée

x_{n}

.
(b) Déterminer la limite de

x_{n}

lorsque

n \rightarrow+\infty

.
(c) Donner un équivalent de

\left(x_{n}\right)

puis le deuxième terme du développement asymptotique

x_{n}

.

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Maths

Analyse

Level 4

Pour tout entier

n \geq 2

, on considère l'équation

\left(E_{n}\right): x^{n}=x+1

dont l'inconnue est

x \geq 0

.
(a) Montrer l'existence et l'unicité de

x_{n}

solution de

\left(E_{n}\right)

.
(b) Montrer que

\left(x_{n}\right)

tend vers 1.
(c) Montrer que

\left(x_{n}\right)

admet un développement limité à tout ordre.
Donner les trois premiers termes de ce développement limité.

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Maths

Analyse

Level 3

Montrer que l'équation

x^{n}+x^{2}-1=0

admet une unique racine réelle strictement positive pour

n \geq 1

.
On la note

x_{n}

.
Déterminer la limite

\ell

de la suite

\left(x_{n}\right)

puis un équivalent de

x_{n}-\ell

.

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Maths

Analyse

Level 4

Résultat : Soient

n \in \mathbb{N}^{*}

et l'équation

\left(E_{n}\right): x^{n}+x-1=0.

(a)

Montrer qu'il existe une unique solution positive de

\left(E_{n}\right)

notée

x_{n}

et que

\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=1.

(b)

On pose

y_{n}=1-x_{n}

. Montrer que, pour

n

assez grand,

\frac{\ln n}{2 n} \leq y_{n} \leq 2 \frac{\ln n}{n}

(on posera

f_{n}(y)=n \ln (1-y)-\ln (y)

).

(c)

Montrer que

\ln \left(y_{n}\right) \sim-\ln n

puis que

x_{n}=1-\frac{\ln n}{n}+\mathrm{o}\left(\frac{\ln n}{n}\right)

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Maths

Analyse

Level 3

Montrer que l'équation

\tan x=\sqrt{x}

possède une unique solution

x_{n}

dans chaque intervalle

\left.I_{n}=\right]-\pi / 2 ; \pi / 2\left[+n \pi\left(\right.\right.

avec

\left.n \in \mathbb{N}^{*}\right)

.
Réaliser un développement asymptotique à quatre termes de

x_{n}

.

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Analyse

Level 4

(a) Pour tout

n \in \mathbb{N}

, justifier que l'équation

x+\mathrm{e}^{x}=n

possède une unique solution

x_{n} \in \mathbb{R}

.
(b) Déterminer la limite de

\left(x_{n}\right)

puis un équivalent de

x_{n}

(c) Former un développement asymptotique à trois termes de

x_{n}

quand

n \rightarrow+\infty

.

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Analyse

Level 3

Soit

f:] 0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}

la fonction définie par

f(x)=\ln x+x

(a) Montrer que pour tout

n \in \mathbb{N}

, il existe un unique

x_{n}

tel que

f\left(x_{n}\right)=n

.
\begin{enumerate} \item Il s'agit de la constante d'Euler,

\gamma=0.577

à

10^{-3}

près.
(b) Former le développement asymptotique de la suite

\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}

à la précision

(\ln n / n)

. \end{enumerate}

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Analyse

Level 3

Soit

n

un entier naturel et

E_{n}

l'équation

x+\ln x=n

d'inconnue

x \in \mathbb{R}_{+}^{*}

.
(a) Montrer que l'équation

E_{n}

possède une solution unique notée

x_{n}

.
(b) Montrer que la suite

\left(x_{n}\right)

diverge vers

+\infty

.
(c) Donner un équivalent simple de la suite

\left(x_{n}\right)

.

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Analyse

Level 3

Pour tout

n \in \mathbb{N}^{*}

, on pose

a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n+1) \quad \text { et } \quad b_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n)

\\ (a) Établir que

\ln (1+x) \leq x

pour tout

x \in]-1 ;+\infty

(b) Justifier que les suites

\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}

et

\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}

sont adjacentes. On note

\gamma

leur limite commune

{ }^{1}

(a) Justifier le développement

\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \underset{n \rightarrow+\infty}{=} \ln (n)+\gamma+\mathrm{o}(1)

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Analyse

Level 3

Donner un développement asymptotique de

\left(\frac{1}{n !} \sum_{k=0}^{n} k !\right)_{n \in \mathbb{N}}

à la précision

\mathrm{o}\left(n^{-3}\right)

.

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Analyse

Level 4

Former le développement asymptotique, en

+\infty

, à la précision

1 / n^{2}

de

u_{n}=\frac{1}{n !} \sum_{k=0}^{n} k !

devient : Former le développement asymptotique, en

+ \infty

, \\ à la précision

1 / n^{2}

de \\

u_{n}=\frac{1}{n !} \sum_{k=0}^{n} k !

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Maths

Analyse

Level 4

Développement asymptotique à trois termes de :

u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \sin \frac{k}{n^{2}}

a)
b)
c)

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Maths

Analyse

Level 5

Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la précision demandée :
(a)

u_{n}=\ln (n+1)

à la précision

1 / n^{2}

(b)

u_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}

à la précision

1 / n^{2}

(c)

u_{n}=\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}

à la précision

1 / n

(d)

u_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

à la précision

1 / n^{2}

.

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