logo
  • Filtre for math subject All subjects
Donner le sens de variation de(un) deˊfinie pour nN : un=2nn\text{Donner le sens de variation de}\\\normalsize(u_n)\text{ définie pour }n\in\mathbb{N}^*\text{ :}\\ \ \\\large u_n=\LARGE\frac{2^n}{n}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Pour tout entier n1, on note unla somme des n premiers carreˊs,un=12+22+32++n2 1.Calculer les trois premierstermes de la suite (un). 2. Deˊterminer une relation entreun+1 et un. 3.On pose (vn) la suite deˊfiniepour tout nN par :vn=n(n+1)(2n+1)6a.Montrer que u1=v1.b.Veˊrifier que la suite (vn) veˊrifiela meˆme relation de reˊcurrenceque (un). Conclure.\text{Pour tout entier }n\geq 1\text{, on note }u_n\\\text{la somme des }n\text{ premiers carrés,}\\u_n=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\\ \ \\1.\,\text{Calculer les trois premiers}\\\text{termes de la suite }\left(u_n\right).\\ \ \\2.\text{ Déterminer une relation entre}\\u_{n+1}\text{ et }u_n.\\ \ \\3.\,\text{On pose }\left(v_n\right)\text{ la suite définie}\\\text{pour tout }n\in\mathbb{N}\text{ par :}\\v_n=\large\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\normalsize\\\,a.\,\text{Montrer que }u_1=v_1.\\\,b.\,\text{Vérifier que la suite }\left(v_n\right)\text{ vérifie}\\\,\text{la même relation de récurrence}\\\,\text{que }\left(u_n\right).\text{ Conclure.}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Maxime a 40€ dans son porte-monnaiele 1er janvier 2019 au matin. Tous lejours, il deˊpense le quart de ce qu’il adans son porte-monnaie et retire 25soir dans un distributeur pour mettredans son porte-monnaie.On note un la somme qu’il aura dansson porte monnaie n jours apreˋs le 1erjanvier, au matin.On a u0=40. 1.Combien aura-t-il dans son portemonnaie le 2 janvier au matin ? 2.Donner la valeur de u0,u1 et u2. 3.La suite (un) est-elle arithmeˊtique ?geˊomeˊtrique ? 4.Justifier que pour tout nN,un+1=0,75un+25. 5.Soit (vn) la suite deˊfinie pour toutnN par vn=un100.a.Deˊmontrer que (vn) est une suitegeˊomeˊtrique de raison 0,75.b.Deˊterminer la valeur de v0.c.En deˊduire l’expression de vn enfonction de n.d.En deˊduire l’expression de un enfonction de n.e.Combien aura-t-il dans son portemonnaie le 15 janvier au matin ?\small\text{Maxime a }40€\text{ dans son porte-monnaie}\\\text{le }1^{\text{er}}\text{ janvier }2019\text{ au matin. Tous le}\\\text{jours, il dépense le quart de ce qu'il a}\\\text{dans son porte-monnaie et retire }25€\\\text{soir dans un distributeur pour mettre}\\\text{dans son porte-monnaie.}\\\text{On note }u_n\text{ la somme qu'il aura dans}\\\text{son porte monnaie }n\text{ jours après le }1^{\text{er}}\\\text{janvier, au matin.}\\\text{On a }u_0=40.\\ \ \\1.\,\text{Combien aura-t-il dans son porte}\\\text{monnaie le 2 janvier au matin ?}\\ \ \\2.\,\text{Donner la valeur de }u_0,u_1\text{ et }u_2.\\ \ \\3.\,\text{La suite }\left(u_n\right)\text{ est-elle arithmétique ?}\\\text{géométrique ?}\\ \ \\4.\,\text{Justifier que pour tout }n\in\mathbb{N},\\u_{n+1}=0,75u_n+25.\\ \ \\5.\,\text{Soit }\left(v_n\right)\text{ la suite définie pour tout}\\n\in\mathbb{N}\text{ par }v_n=u_n-100.\\\,a.\,\text{Démontrer que }\left(v_n\right)\text{ est une suite}\\\text{géométrique de raison }0,75.\\\,b.\,\text{Déterminer la valeur de }v_0.\\\,c.\,\text{En déduire l'expression de }v_n\text{ en}\\\text{fonction de }n.\\\,d.\,\text{En déduire l'expression de }u_n\text{ en}\\\text{fonction de }n.\\\,e.\,\text{Combien aura-t-il dans son porte}\\\text{monnaie le }15\text{ janvier au matin ?}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Eˊtudier les variations des suitessuivantes. a)(un) deˊfinie pour tout nNpar un=2n23n+1 b)(un) deˊfinie pour tout nNpar un=3n2n1\text{Étudier les variations des suites}\\\text{suivantes.}\\ \ \\a)\,\left(u_n\right)\text{ définie pour tout }n\in\mathbb{N}\\\text{par }u_n=2n^2-3 n+1\\ \ \\b)\,\left(u_n\right)\text{ définie pour tout }n\in\mathbb{N}\\\text{par }u_n=\Large\frac{3^n}{2^{n-1}}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
On peut montrer que deux suitessont eˊgales, en montrant qu’ellesont le meˆme premier terme etqu’elles suivent la meˆme relationde reˊcurrence. On consideˋre la suite (un) deˊfiniesur N par un=2n1.On consideˋre la suite (vn) deˊfiniepar v0=0 et, pour tout N,vn+1=2vn+1. On veut montrer que les deuxsuites (un)et (vn) sont eˊgales. 1.Calculer les trois premierstermes de chaque suite.2.Montrer que, pour tout entiern, on aun+1=2un+1.3.Conclure.\text{On peut montrer que deux suites}\\\text{sont égales, en montrant qu'elles}\\\text{ont le même premier terme et}\\\text{qu'elles suivent la même relation}\\\text{de récurrence.}\\ \ \\\text{On considère la suite }\left(u_n\right)\text{ définie}\\\text{sur }\mathbb{N}\text{ par }u_n=2^n-1.\\\text{On considère la suite }\left(v_n\right)\text{ définie}\\\text{par }v_0=0\text{ et, pour tout }\in\mathbb{N}\text{,}\\v_{n+1}=2 v_n+1.\\ \ \\\text{On veut montrer que les deux}\\\text{suites }\left(u_n\right)\text{et }\left(v_n\right)\text{ sont égales.}\\ \ \\1.\,\text{Calculer les trois premiers}\\\text{termes de chaque suite.}\\2.\,\text{Montrer que, pour tout entier}\\n\text{, on a}\quad u_{n+1}=2u_n+1.\\3.\,\text{Conclure.}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
On consideˋre la suite (un)deˊfinie sur N par :un=(n+1)2n2 Montrer que la suite (un) estarithmeˊtique.\text{On considère la suite }\left(u_n\right)\\\text{définie sur }\mathbb{N}\text{ par :}\\u_n=(n+1)^2-n^2\\ \ \\\text{Montrer que la suite }\left(u_n\right)\text{ est}\\\text{arithmétique.}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION