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Analyse

Level 4

\text{Donner le sens de variation de}\\\normalsize(u_n)\text{ définie pour }n\in\mathbb{N}^*\text{ :}\\ \ \\\large u_n=\LARGE\frac{2^n}{n}

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Level 4

\text{Pour tout entier }n\geq 1\text{, on note }u_n\\\text{la somme des }n\text{ premiers carrés,}\\u_n=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\\ \ \\1.\,\text{Calculer les trois premiers}\\\text{termes de la suite }\left(u_n\right).\\ \ \\2.\text{ Déterminer une relation entre}\\u_{n+1}\text{ et }u_n.\\ \ \\3.\,\text{On pose }\left(v_n\right)\text{ la suite définie}\\\text{pour tout }n\in\mathbb{N}\text{ par :}\\v_n=\large\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\normalsize\\\,a.\,\text{Montrer que }u_1=v_1.\\\,b.\,\text{Vérifier que la suite }\left(v_n\right)\text{ vérifie}\\\,\text{la même relation de récurrence}\\\,\text{que }\left(u_n\right).\text{ Conclure.}

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Level 4

\small\text{Maxime a }40€\text{ dans son porte-monnaie}\\\text{le }1^{\text{er}}\text{ janvier }2019\text{ au matin. Tous le}\\\text{jours, il dépense le quart de ce qu'il a}\\\text{dans son porte-monnaie et retire }25€\\\text{soir dans un distributeur pour mettre}\\\text{dans son porte-monnaie.}\\\text{On note }u_n\text{ la somme qu'il aura dans}\\\text{son porte monnaie }n\text{ jours après le }1^{\text{er}}\\\text{janvier, au matin.}\\\text{On a }u_0=40.\\ \ \\1.\,\text{Combien aura-t-il dans son porte}\\\text{monnaie le 2 janvier au matin ?}\\ \ \\2.\,\text{Donner la valeur de }u_0,u_1\text{ et }u_2.\\ \ \\3.\,\text{La suite }\left(u_n\right)\text{ est-elle arithmétique ?}\\\text{géométrique ?}\\ \ \\4.\,\text{Justifier que pour tout }n\in\mathbb{N},\\u_{n+1}=0,75u_n+25.\\ \ \\5.\,\text{Soit }\left(v_n\right)\text{ la suite définie pour tout}\\n\in\mathbb{N}\text{ par }v_n=u_n-100.\\\,a.\,\text{Démontrer que }\left(v_n\right)\text{ est une suite}\\\text{géométrique de raison }0,75.\\\,b.\,\text{Déterminer la valeur de }v_0.\\\,c.\,\text{En déduire l'expression de }v_n\text{ en}\\\text{fonction de }n.\\\,d.\,\text{En déduire l'expression de }u_n\text{ en}\\\text{fonction de }n.\\\,e.\,\text{Combien aura-t-il dans son porte}\\\text{monnaie le }15\text{ janvier au matin ?}

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Level 2

\text{Étudier les variations des suites}\\\text{suivantes.}\\ \ \\a)\,\left(u_n\right)\text{ définie pour tout }n\in\mathbb{N}\\\text{par }u_n=2n^2-3 n+1\\ \ \\b)\,\left(u_n\right)\text{ définie pour tout }n\in\mathbb{N}\\\text{par }u_n=\Large\frac{3^n}{2^{n-1}}

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Maths

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Level 2

\text{On peut montrer que deux suites}\\\text{sont égales, en montrant qu'elles}\\\text{ont le même premier terme et}\\\text{qu'elles suivent la même relation}\\\text{de récurrence.}\\ \ \\\text{On considère la suite }\left(u_n\right)\text{ définie}\\\text{sur }\mathbb{N}\text{ par }u_n=2^n-1.\\\text{On considère la suite }\left(v_n\right)\text{ définie}\\\text{par }v_0=0\text{ et, pour tout }\in\mathbb{N}\text{,}\\v_{n+1}=2 v_n+1.\\ \ \\\text{On veut montrer que les deux}\\\text{suites }\left(u_n\right)\text{et }\left(v_n\right)\text{ sont égales.}\\ \ \\1.\,\text{Calculer les trois premiers}\\\text{termes de chaque suite.}\\2.\,\text{Montrer que, pour tout entier}\\n\text{, on a}\quad u_{n+1}=2u_n+1.\\3.\,\text{Conclure.}

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Level 2

\text{On considère la suite }\left(u_n\right)\\\text{définie sur }\mathbb{N}\text{ par :}\\u_n=(n+1)^2-n^2\\ \ \\\text{Montrer que la suite }\left(u_n\right)\text{ est}\\\text{arithmétique.}

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