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Analyse

Dérivation : Nombre dérivé et tangentes

Exercice

On considère la fonction racine carrée $f$ définie sur $[0,+\infty]$ : $f(x) = \sqrt{x}$
$ \\ \ \\ $ 
1. Vérifier que pour $h > 0$ : $\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{1}{\sqrt{1+h}+1}$
 
2. En déduire l'existence et la valeur de $f'(1)$ 
$ \\ \ \\ $ 
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbf{R}\backslash\lbrace{3}\rbrace$ par $g(x) = \frac{1}{x-3}$
 
3. Par analogie avec la question précédente, montrer que $g$ est dérivable en -2 et déterminer $g(-2)$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}\backslash\lbrace{1}\rbrace$ par 
$$ f(x) = \frac{x^2 -3x +6}{x-1} $$
 
On note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 
 
1. Déterminer les coordonnées du point $A$ où $C$ coupe l'axe des ordonnées. 
 
2. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C$ en $A$. 
 
3. Étudier la position relative de $C$ et de $T$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} $ par $f: x \mapsto x^2+5 x-4$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan. Soit $a$ un nombre réel.
 
$\quad$. Démontrer que l'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en $a$ est $y=(2 a+5) x-a^2-4$
 
$\quad$. En déduire que $\mathscr{C}_f$ admet deux tangentes passant par le point de coordonnées $(1 ;-7)$ et donner l'équation de ces deux tangentes.

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathrm I=]-\infty ; 4[$ par $h: x \mapsto \sqrt{-3 x+12}$.
 
$\quad$. $h$ est une fonction composée de deux fonctions $g$ et $f$ dans cet ordre.
Donner l'expression des fonctions $g$ et $f$.
 
$\quad$. En utilisant le théorème de la dérivée d'une fonction composée, démontrer que la fonction $h$ est dérivable sur $\mathrm I$. 
 
$\quad$. Déterminer l'expression de $f^{\prime}(x)$ pour tout réel strictement positif $x$ et celle de $g^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de $\mathrm I$.
 
$\quad$. En déduire l'expression de la dérivée $h^{\prime}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f: x \mapsto x^2+1$ et $h$ un nombre réel non nul.
 
$\quad$. Exprimer en fonction de $h$ le taux de variation de $f$ entre $3$ et $3+h$.
 
$\quad$. En déduire que la fonction est dérivable en $3$ et déterminer $f^{\prime}(3)$.
 
$\quad$. De la même manière, montrer que $f$ est dérivable en $2$ et déterminer $f^{\prime}(2)$.