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On considère la fonction racine carrée ff définie sur [0,+][0,+\infty] : f(x)=xf(x) = \sqrt{x}   \\ \ \\ 1. Vérifier que pour h>0h > 0 : f(1+h)f(1)h=11+h+1\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{1}{\sqrt{1+h}+1}
2. En déduire l'existence et la valeur de f(1)f'(1)   \\ \ \\ On considère la fonction gg définie sur R\{3}\mathbf{R}\backslash\lbrace{3}\rbrace par g(x)=1x3g(x) = \frac{1}{x-3}
3. Par analogie avec la question précédente, montrer que gg est dérivable en -2 et déterminer g(2)g(-2)
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On considère la fonction ff définie sur R\{1}\mathbf{R}\backslash\lbrace{1}\rbrace par f(x)=x23x+6x1 f(x) = \frac{x^2 -3x +6}{x-1}
On note CC sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1. Déterminer les coordonnées du point AACC coupe l'axe des ordonnées.
2. Déterminer une équation de la tangente TT à CC en AA.
3. Étudier la position relative de CC et de TT.
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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f:xx2+5x4f: x \mapsto x^2+5 x-4 et Cf\mathscr{C}_f sa courbe représentative dans un repère du plan. Soit aa un nombre réel.
\quad. Démontrer que l'équation de la tangente à Cf\mathscr{C}_f en aa est y=(2a+5)xa24y=(2 a+5) x-a^2-4
\quad. En déduire que Cf\mathscr{C}_f admet deux tangentes passant par le point de coordonnées (1;7)(1 ;-7) et donner l'équation de ces deux tangentes.
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Soit hh la fonction définie sur I=];4[\mathrm I=]-\infty ; 4[ par h:x3x+12h: x \mapsto \sqrt{-3 x+12}.
\quad. hh est une fonction composée de deux fonctions gg et ff dans cet ordre. Donner l'expression des fonctions gg et ff.
\quad. En utilisant le théorème de la dérivée d'une fonction composée, démontrer que la fonction hh est dérivable sur I\mathrm I.
\quad. Déterminer l'expression de f(x)f^{\prime}(x) pour tout réel strictement positif xx et celle de g(x)g^{\prime}(x) pour tout réel xx de I\mathrm I.
\quad. En déduire l'expression de la dérivée hh^{\prime}.
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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f:xx2+1f: x \mapsto x^2+1 et hh un nombre réel non nul.
\quad. Exprimer en fonction de hh le taux de variation de ff entre 33 et 3+h3+h.
\quad. En déduire que la fonction est dérivable en 33 et déterminer f(3)f^{\prime}(3).
\quad. De la même manière, montrer que ff est dérivable en 22 et déterminer f(2)f^{\prime}(2).
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