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Analyse

Dérivation : variations de fonctions

Exercice

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3 x^2+m x$ où $m$ est un réel.
Pour quelles valeurs de $m$ la fonction $f$ est-elle strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ?

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-4 x^3+9 x$.
 
$\quad$. Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $g^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$.
 
$\quad$. Dresser le tableau de signes de $g^{\prime}(x)$ sur $\mathbb{R}$.
 
$\quad$. En déduire que $g$ admet un maximum local en une valeur que l'on déterminera et un minimum local en une autre valeur que l'on déterminera.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \backslash\{-3\}$ par $f(x)=\Large\frac{5 x-6}{x+3}$
 
$\quad$. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \backslash\{-3\}$ et déterminer sa fonction dérivée $f^{\prime}$.
 
$\quad$. Étudier, pour tout réel $x \neq-3$, le signe de $f^{\prime}(x)$.
 
$\quad$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R} \backslash\{-3\}$.

Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes :
 
$\quad$. $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3 x^2+12 x-5$.
 
$\quad$. $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3-9 x^2-21 x+4$.

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+2$ et $g(x)=-x^2+8$
 
$\quad$. Calculer, pour tout réel $x$, $f(x)-g(x)$.
 
$\quad$. Étudier, selon les valeurs de $x$, le signe de $f(x)-g(x)$.
 
$\quad$. En déduire la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.