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Exponentielle

Exercice

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: ${\large f: x \mapsto \frac{5}{e^x-e}}$. Donner l'ensemble de définition de $f$, dériver $f$ et étudier ses variations.

$\text { Résoudre dans } \mathbb{R} \text { l'équation suivante: }: e^{2 x}+4 e^x=5$

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathrm{R}$, dérivable strictement poxitive, verifiant $f^{\prime}(0)=1$ et pour tout réels $x$ et $y, f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$
 
1. Montrer que $f$ verifie $f(0)=1$ et pour tout $x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=f(x)$
 
2. En deduire que $f$ est la fonction exponentielle

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-2) e^x+x+1$. Donner les variations de $f$.

Calculer une expression de la dérivée des fonctions suivantes sans se préoccuper de leur ensemble de définition.
 
$\quad$. $f: x \mapsto 3 x \mathrm{e}^x$
 
$\quad$. $g: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^x}{x}-x$
 
$\quad$. $h: x \mapsto \frac{5}{\mathrm{e}^{2 x}-3}$

Déterminer une expression des dérivées des fonctions suivantes.
a) $f(x)=e^x-2 x+1$
b) $g(x)=4 \mathrm{e}^x-3$
c) $h(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^x}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.
 
$\quad$. $\mathrm{e}^x<\mathrm{e}^{-2}$
 
$\quad$. $x \geqslant \mathrm{e}^{-2}$
 
$\quad$. $\mathrm{e}^{3 x-5}>1$
 
$\quad$. $2 \mathrm{e}^{x-4}-2 \mathrm{e}>0$
 
$\quad$. $-4+4 \mathrm{e}^{6-x}>0$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.
 
$\quad$. $\mathrm{e}^x=1$
 
$\quad$. $\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{-1}$
 
$\quad$. $e^{2 x+4}=1$
 
$\quad$. $\mathrm{e}^{-3 x+7}=\mathrm{e}^{-2}$
 
$\quad$. $\mathrm{e}^{x^2}-\mathrm{e}=0$

Simplifier les expressions suivantes :
 
$\quad$. $\left(e^x-1\right)\left(2 e^{-x}+3\right)$
 
$\quad$. $\left(1-e^{-x}\right)^2$
 
$\quad$. $\left(x-\mathrm{e}^x\right)\left(x+\mathrm{e}^{-x}\right)$
 
$\quad$. $\left(3 x+\frac{1}{e^x}\right)\left(4+e^x\right)$
 
$\quad$. $\left(e^{-2 x}\right)^3 \times\left(1-e^{6 x}\right)$
 
$\quad$. $\left(2 e^x-e^{-1}\right)^2$