Home

Première

Maths

Analyse

Sin, Cos et Cercle Trigo

Exercice

Donner les solutions réelles de l'équation suivante : $ \\ (E)$ : $-\cos(x)^2-2\sin(x)+2=0$

Montrer les égalités suivantes : 
$ \\ \ \\ $ 
1. $1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos (x)^2}$
 
2. $1+\frac{1}{\tan^2 (x)}=\frac{1}{\sin(x)^2}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-\frac{\cos ^3(x)}{3}$.
 
1. Montrer que $f$ est paire et $2 \pi$-périodique. Interpréter graphiquement.
 
2. On admet que la dérivée de la fonction $f$ est la fonction $f^{\prime}$ définie par :
 $$ f^{\prime}(x)=\cos ^2(x) \sin (x) .$$
 
$ ~ $ a. Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$.
 
$ ~ $ b. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi[$.
 
$ ~ $ c. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi ; 3 \pi[$.

Calculer $\cos (\large\frac{\pi}{3}) \normalsize; \cos (-\large\frac{\pi}{4}\normalsize)$ et $\cos (-\large\frac{5 \pi}{6})$ puis $\cos ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ; $1-\sin ^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

1. Résoudre dans $] \large\frac{\pi}{2}\normalsize ; \large\frac{3 \pi}{2}\normalsize]$ l'inéquation $\cos (x)<\large\frac{\sqrt{3}}{2}$. 
2. Résoudre dans $] \pi ; 3 \pi ]$ l'inéquation $\sin (x)>-\large\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. Résoudre dans$ ] -\pi ; \pi ]$ I'inéquation $\cos (x) \geqslant \large\frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Résoudre dans $] -\pi ; \pi]$ l'inéquation $\sin (x) < \large\frac{1}{2}$.

1. Résoudre sur $\left[0 ; 2 \pi\left[\right.\right.$l'équation $\cos (x)=\large\frac{\sqrt{3}}{2}$. 
 
2. Résoudre sur $[0 ; 2 \pi[$ l'équation $\sin (x)=\large\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Donner les points du cercle associés à chacun des réels suivants.
a) $\large\frac{\pi}{2}$
b) $\large\frac{11 \pi}{2}$
c) $-\large\frac{13 \pi}{2}$
d) $\large\frac{498 \pi}{2}$
e) $-\large\frac{117 \pi}{2}$