Maths

Géométrie

Level 4

\text{On considère un triangle ABC}\\\text{rectangle en A,}\text{ les points I et J}\text{ sont les }\\\text{milieux respectifs des segments }[AB]\text{ et }[AC]\\\text{et le point }H\text{ est le projeté}\\\text{orthogonal de A sur }[BC]\\ \ \\\text{1. Développer le produit scalaire }\\(\overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})\\\text{2. En déduire que : } \overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=-\mathrm{HA}^2\\\text{3. Développer le produit scalaire}\\(\overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{HB}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{HC}})\\\text{4. Démontrer que } \overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{HB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{H}}\\\text{5. En déduire que }\overrightarrow{\mathrm{H}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{H}} \vec{J}=0

.

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Maths

Géométrie

Level 4

\text{On considère les points : }\\A(4 ;-1),B(-3 ;-1)\text{ et }C(-1 ; 3)\\ \ \\\text{1. Calculer le produit scalaire }\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\\\text{2. On appelle }\mathrm{H}\text{ le projeté orthogonal de}\\\mathrm{C}\text{ sur la droite (AB).}\\\text{En calculant autrement à l'aide du point H}\\\text{le produit scalaire }\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\\\text{ En déduire la longueur }\mathrm{AH}\\\text{3. Donner une valeur en degrés, arrondie à 0,1 près, de l'angle }\widehat{B A C}

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Maths

Géométrie

Level 2

Soit les vecteurs

\vec{u}

et

\vec{v}

orthogonaux et tels que

\|\vec{u}\|=a

et

\|\vec{v}\|=b

. Exprimer en fonction de

a

et de

b

les produits scalaires suivants. a)

\vec{u} \cdot(\vec{u}+\vec{v})

b)

(2 \vec{u}-3 \vec{v}) \cdot \vec{v}

c)

(\vec{u}+\vec{v})^2

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Maths

Géométrie

Level 3

Soit un triangle

\mathrm{EDF}

tel que

\mathrm{EF}=5

,

\mathrm{DF}=8

et

\mathrm{ED}=9

.
Déterminer la valeur en degrés et arrondie à

0,1^{\circ}

de l'angle

\widehat{\mathrm{EDF}}

.

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Maths

Géométrie

Level 2

Soit les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{c}2 1\right),\vec v\left(\begin{array}{c}-3 -1\right) et \vec{w}\left(\begin{array}{c}1 4\right).
Calculer les produits scalaires suivants. a)

\vec{u} \cdot \vec{v}

b)

\vec{w} \cdot \vec{v}

c)

\vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})

d)

(-2 \vec{u}) \cdot \vec{v}+3(\vec{v} \cdot \vec{w})

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Maths

Géométrie

Level 3

Le triangle

\mathrm{ABC}

où

\mathrm{A}(0 ;-2)

,

\mathrm{B}(-1 ; 1)

et

\mathrm{C}(2 ; 2)

est-il un triangle rectangle ?

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Maths

Géométrie

Level 3

Dans un triangle équilatéral

\mathrm{A B C}

de côté

6

, calculer les produits scalaires suivants. a)

\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

b)

\overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}

c)

\overrightarrow{\mathrm{A C}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B A}}

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