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Trois personnes s’aperçoivent que deux d’entre elles sont nées le même mois. Le but de cet exercice est de calculer la probabilité que cela se produise.
1. Combien existe-t-il de répartitions possibles pour les mois de naissances
des trois personnes ? On estime que ces répartitions sont équiprobables.   \\ \ \\ On considère l’événement AA : « deux personnes au moins sont nées le même mois ».
2. Déterminer par une phrase l'événement Aˉ\bar A.
3. Combien existe-t-il de répartitions possibles où les trois personnes sont nées à des mois différents ?
4. Calculer P(A)P(A) et P(Aˉ)P(\bar A)
5. Généralisation : calculer la probabilité qu’au moins deux personnes sur quatre soient nées le même mois.
6. À partir de combien de personnes, la probabilité d’avoir au moins deux personnes nées le même mois est-elle supérieure à 0,5 ?  \\ \ \\ On s’intéresse maintenant au jour de naissance.
7. Dans une classe de 25 élèves, quelle est la probabilité d’avoir au moins deux élèves qui sont nés le même jour ?
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
On tire successivement et sans remise dans un sac contenant 7 jetons blancs et 3 jetons rouges. Si les deux jetons sont de différentes couleurs, la partie est gagnée. Si les deux jetons sont de la même couleur, la partie est perdue.
1. Déterminer la probabilité des événements suivants :
  ~ - On tire deux jetons blancs
  ~ - On tire deux jetons rouges
  ~ - On tire deux jetons de couleurs différentes
Désormais, on fait évoluer le jeu en augmentant le nombre de jetons rouges. Il y a toujours sept jetons blancs et désormais nn jetons rouges.
2. Montrer que la probabilité pnp_n de l'événement
"On tire deux jetons de couleurs différentes " est : pn=14(n7)n(n1)p_n = \frac{14(n-7)}{n(n-1)}   \\ \ \\ On considère la fonction ff définie sur [10;+[[10;+\infty[ par f(x)=14(x7)x(x1)f(x) = \frac{14(x-7)}{x(x-1)}.
3. Étudier les variations de ff.
4. En déduire deux valeurs consécutives de nn entre lesquelles la fonction ff atteint son maximum
5. Déterminer la valeur maximale de pnp_n
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On considère trois urnes U1U_1, U2U_2 et U3U_3. L'urne U1U_1 contient deux boules bleues et trois boules vertes. L'urne U2U_2 contient une boule bleue et quatre boules vertes. L'urne U3U_3 contient trois boules bleues et quatre boules vertes.   \\ \ \\ On tire d'abord une boule dans l'urne U1U_1 et une boule U2U_2. On place les deux boules tirées dans l'urne U3U_3. Enfin, on tire une boule dans U3U_3.
Pour i{1,2,3}i\in \{1,2,3\}, on note :
  ~- BiB_i l'événement "on tire une boule bleue dans l'urne UiU_i"
  ~ - ViV_i l'événement "on tire une boule verte dans l'urne UiU_i"
1. Dessiner l'arbre de probabilité correspondant à la situation
2. Calculer les probabilités suivantes : B1B2B3B_1 \cap B_2 \cap B_3 et B1V2B3B_1 \cap V_2 \cap B_3
3. En déduire la probabilité de l'événement B1B3B_1 \cap B_3
4. De manière analogue, calculer V1B3V_1 \cap B_3
5. Déduire des questions précédentes P(B3)P(B_3)
6. Les événements B1B_1 et B3B_3 sont-ils indépendants ?
7. Sachant que la boule tirée dans U3U_3 est bleue, quelle est la probabilité que la boule tirée dans U1U_1 soit verte ?
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