Maths

Probas et Stats

Level 3

Une urne contient 1 boule bleue et

n

boules rouges (avec

n\geq 1

). Un joueur tire une boule au hasard dans l'urne. Si elle est bleue, il gagne 10 €. Si elle est rouge, il perd 1 €. On considère

X

la variable aléatoire qui est égale au gain du joueur.
1. Dans cette question, on suppose que

n=10

.

~

a. Déterminer la loi de

X \\

~

b. Calculer l'espérance de

X

:

E(X) \\

2. On suppose désormais que

n

est un entier positif quelconque.

~

a. Déterminer la loi de

X \\

~

b. Exprimer

E(X)

l'espérance de

X

en fonction de

n

.

~

c. Déterminer les valeurs de

n

pour lesquelles on a

E(X) \geq 0 \\

~

d. Existe-t-il une valeur de

n

telle que

E(X) = \frac{-1}{2}

?

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Maths

Probas et Stats

Level 3

Une entreprise fabrique un produit dont le coût de production est de 950 €. Malheureusement, cet objet peut présenter un défaut de type A, un défaut de type B, ou encore à la fois le défaut de type A et le défaut de type B.
L'entreprise propose une garantie qui dédommage l'acheteur d'un produit à hauteur de 100 € dans le cas d'un défaut de type A et à hauteur de 150 € dans le cas d'un défaut de type B.
On admet dans cet exercice que :
- 90\% des produits n'ont aucun défaut
- 5\% des produits ont au moins le défaut A
- 4\% des produits ont les deux défauts A et B
On note

X

la variable aléatoire qui associe le prix de revient à un produit choisi au hasard. On entend par prix de revient la somme du coût de production et du coût de réparation.
1. Déterminer la loi de

X

2. Calculer l'espérance

E(X)

de cette variable aléatoire. Que représente-elle pour l'entreprise ?
3. On admet que tous les produits de l'entreprise ont été vendus.

~

a. L'entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices en vendant chaque produit au prix de 960 € ?

~

b. L'entreprise veut réaliser un bénéfice moyen de 100 € par produit. Comment l'entreprise doit-elle choisir le prix de vente ?

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Maths

Probas et Stats

Level 3

Une urne contient 1 boule bleue et

n

boules rouges (avec

n \geq 1

). Un joueur tire une boule au hasard dans l'urne. Si elle est bleue, il gagne

10 €

. Si elle est rouge, il perd

1 \in

. On considère

X

la variable aléatoire qui est égale au gain du joueur.
1. Dans cette question, on suppose que

n=10

.

~

(a) Déterminer la loi de

X

~

(b) Calculer l'espérance de

X: E(X)

2. On suppose désormais que

n

est un entier positif quelconque.

~

(a) Déterminer la loi de

X

~

(b) Exprimer

E(X)

l'espérance de

X

en fonction de

n

.

~

(c) Déterminer les valeurs de

n

pour lesquelles on a

E(X) \geq 0

~

(d) Existe-t-il une valeur de

n

telle que

E(X)=\frac{-1}{2}

?

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Maths

Probas et Stats

Level 1

Une entreprise fabrique un produit dont le côt de production est de

950 €

. Malheureusement, cet objet peut présenter un défaut de type

\mathbf{A}

, un défaut de type B, ou encore à la fois le défaut de type

\mathrm{A}

et le défaut de type

\mathrm{B}

.
L'entreprise propose une garantie qui dédommage l'acheteur d'un produit à hauteur de

100 €

dans le cas d'un défaut de type

A

et à hauteur de

150 €

dans le cas d'un défaut de type

B

.
On admet dans cet exercice que :

~

-

90 \%

des produits n'ont aucun défaut

~

-

5 \%

des produits ont au moins le défaut A

~

-

4 \%

des produits ont les deux défauts

\mathrm{A}

et

\mathrm{B}

On note

X

la variable aléatoire qui associe le prix de revient à un produit choisi au hasard. On entend par prix de revient la somme du coût de production et du coût de réparation.
1. Déterminer la loi de

X

2. Calculer l'espérance

E(X)

de cette variable aléatoire. Que représente-elle pour l'entreprise ?
3. On admet que tous les produits de l'entreprise ont été vendus.

~

(a) L'entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices en vendant chaque produit au prix

~

de

960 \in

?

~

(b) L'entreprise veut réaliser un bénéfice moyen de

100 €

par produit. Comment

~

l'entreprise doit-elle choisir le prix de vente ?

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Maths

Probas et Stats

Level 4

Une urne contient une boule bleue et

n

boules rouges. On tire successivement deux boules dans l'urne, avec remise. On considère les événements :

~

- M : "Les deux boules sont de la même couleur"

~

- N : "Les deux boules sont différentes couleurs"
1. Exprimer en fonction de

n

la probabilité de ces deux événements
2. On considère le jeu suivant : le joueur perd

(n+1)^2 €

si M est réalisé et gagne

2(n+1)^2 \in

sinon. On appelle

X

la variable aléatoire valant le gain du joueur.

~

(a) Déterminer la loi de

X

~

(b) Montrer que

E(X)=-n^2+4 n-1

~

(c) Pour quelle(s) valeur(s) de

n

le jeu est-il favorable au joueur ?

~

(d) Si on laisse choisir au joueur le nombre de boules rouges, que doit-il répondre ?
3. Déterminer

E(X), V(X), E(-X+1)

et

V(-X+1)

dans le cas

n=2

.

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