Discover our solved exercises on Arithmétique Divisibilité et Congruences

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Maths Expertes

Arithmétique

Level 4

\text{On cherche à résoudre}\\\text{l'équation }(E):\\\quad (E):11x^2-7y^2=5.\\ \ \\\text{L'objectif de cet exercice est de}\\\text{montrer que l'équation }(E)\text{ n'admet}\\\text{pas de solution entière.}\\\text{On suppose qu'il existe une}\\\text{solution }(x;y)\text{ de }(E):\\ \ \\1.\text{ Montrer que }(E)\text{ peut se mettre}\\\text{sous la forme :}\quad x^2\equiv 2y^2[5].\\\text{On pourra raisonner modulo 5.}\\ \ \\2.\text{ Déterminer à quoi sont congrus}\\x^2\text{ et }2y^2\text{ en fonction de }x\text{ modulo}\\5\text{ et }y\text{ modulo 5.}\\ \ \\3.\text{ Montrer que }x\text{ et }y\text{ sont des}\\\text{multiples de 5.}\\ \ \\4.\text{ Conclure.}

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Arithmétique

Level 4

\text{On cherche à déterminer un }\\\text{critère de divisibilité par 7.}\\\text{On admet le résultat suivant :}\\ \ \\\text{Soit }n\in\mathbb{N}.\text{ On considère la diffé-}\\\text{rence entre le double du chiffre}\\\text{des unités de }n\text{ et le nombre formé}\\\text{par les autres chiffres de }n.\\n\text{ est divisible par 7 si et seule-}\\\text{ment si cette différence est}\\\text{divisible par 7.}\\ \ \\1.\text{ Déterminer en appliquant ce}\\\text{critère si 4361 est divisible par 7.}\\ \ \\2.\text{ Même question avec 542.}\\ \ \\3.\text{ Dans cette question, on se}\\\text{propose de démontrer ce critère}\\\text{dans le cas d'un nombre }n\text{ à trois}\\\text{chiffres. On note alors :}\\n=\overline{abc}\text{ avec }a\text{ différent de }0\\ ~a.\text{ Montrer que }n\equiv\normalsize2a+3b+c[7]\\ ~b.\text{ On appelle }m\text{ la différence}\\ ~\text{décrite dans le critère. Montrer}\\ ~\text{que }m\equiv\normalsize2a+3b-2c[7]\\ ~c.\text{ En déduire que }n-3m\equiv\normalsize0[7]\\ ~\text{et }m+2n\equiv\normalsize0[7]\\ ~d.\text{ En déduire que }m\equiv\normalsize0[7]\text{ si et}\\ ~\text{seulement si }n\equiv\normalsize0[7]

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Arithmétique

Level 2

\text{Déterminer le reste de la division}\\\text{euclidienne de }2012^{2012}\text{ par }11.

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Arithmétique

Level 3

1.\,\text{Montrer que si un entier naturel}\\d\text{ divise }(12n+7)\text{ et }(3n+1)\text{ alors,}\\\text{il divise }3.\\ \ \\2.\,\text{ En déduire que la fraction }\large\frac{12n+7}{3n+1}\\\normalsize\text{est irréductible.}

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Arithmétique

Level 4

1.\,\text{Donner la liste des diviseurs de}\\20\text{ dans }\mathbb{N}.\\ \ \\2.\,\text{En déduire tous les couples}\\\text{d'entiers naturels }(x;y)\text{ vérifiant :}\\4x^2-y^2=20

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Arithmétique

Level 3

1.\,\text{Déterminer, suivant les valeurs}\\\text{de }n\text{, }\text{les restes possibles de }2^n\\\text{dans }\text{la division par }9.\\ \ \\2.\,\text{En déduire les entiers }n\text{ tels que}\\2^n-1\text{ est divisible par }9.

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