Maths

Analyse

Level 3

Soit

f: E \rightarrow I

une application surjective.
On pose, pour tout

i \in I, A_{i}=f^{-1}(\{i\})

Montrer que les

A_{i}

sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale à

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

f: E \rightarrow F

une application. Montrer que :
(a)

f

est injective

\Longleftrightarrow \forall A \in \wp(E), A=f^{-1}(f(A))

.
(b)

f

est surjective

\Longleftrightarrow \forall B \in \wp(F), f\left(f^{-1}(B)\right)=B

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 4

Soient

E

et

F

deux ensembles et

f: E \rightarrow F

.
Montrer que

f

est injective si, et seulement si,

\forall A, A^{\prime} \in \wp(E), f\left(A \cap A^{\prime}\right)=f(A) \cap f\left(A^{\prime}\right)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

f: E \rightarrow F

une application.
Établir

\forall A \in \mathcal{P}(E), A \subset f^{-1}(f(A)) \text { et } \forall B \in \mathcal{P}(F), f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

f: E \rightarrow I

une application surjective.
On pose, pour tout

i \in I, A_{i}=f^{-1}(\{i\})

.
Montrer que les

A_{i}

sont non vides,
deux à deux disjoints,
de réunion égale à

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Décrire l'image directe de

\mathbb{R}

par la fonction exponentielle.
Déterminer l'image réciproque de l'intervalle

[-1 ; 4]

par la fonction

f: x \mapsto x^{2}

définie sur

\mathbb{R}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

f: E \rightarrow F

une application. Montrer que :
(a)

f

est injective

\Longleftrightarrow \forall A \in \wp(E), A=f^{-1}(f(A))

.
(b)

f

est surjective

\Longleftrightarrow \forall B \in \wp(F), f\left(f^{-1}(B)\right)=B

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soient

E, F, G

trois ensembles,

f: E \rightarrow F

et

g_{1}, g_{2}: F \rightarrow G

.
On suppose

f

surjective et

g_{1} \circ f=g_{2} \circ f

.
Montrer que

g_{1}=g_{2}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 4

Soient

E

et

F

deux ensembles et

f: E \rightarrow F

.
Montrer que

f

est injective si, et seulement si,

\forall A, A^{\prime} \in \wp(E), f\left(A \cap A^{\prime}\right)=f(A) \cap f\left(A^{\prime}\right)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

E, F, G

trois ensembles,

f_{1}, f_{2}: E \rightarrow F

et

g: F \rightarrow G

.
On suppose

g \circ f_{1}=g \circ f_{2}

et

g

injective.
Montrer que

f_{1}=f_{2}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soient

f: E \rightarrow F

et

g: F \rightarrow E

deux applications telles que

f \circ g \circ f

soit bijective.
Montrer que

f

et

g

sont bijectives.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

f: E \rightarrow F

une application. Établir

\forall A \in \mathcal{P}(E), A \subset f^{-1}(f(A)) \text { et } \forall B \in \mathcal{P}(F), f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Décrire l'image directe de

\mathbb{R}

par la fonction exponentielle.
Déterminer l'image réciproque de l'intervalle

[-1 ; 4]

par la fonction

f: x \mapsto x^{2}

définie sur

\mathbb{R}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

E, F, G

trois ensembles,

f: E \rightarrow F, g: F \rightarrow G

et

h: G \rightarrow E

Établir que si

h \circ g \circ f

est injective
et que

g \circ f \circ h

et

f \circ h \circ g

sont surjectives
alors

f, g

et

h

sont bijectives.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}

définie par

f(n)= \begin{cases}n / 2 & \text { si } n \text { est pair } \\ -\frac{n+1}{2} & \text { sinon. }\end{cases}

Montrer que

f

est bien définie
et bijective.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soient

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

et

g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

les applications définies par :

\forall k \in \mathbb{N}, f(k)=2 k \text { et } g(k)= \begin{cases}k / 2 & \text { si } k \text { est pair } \\ (k-1) / 2 & \text { si } k \text { est impair. }\end{cases}

(a) Étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de

f

et de

g

.
(b) Préciser les applications

g \circ f

et

f \circ g

.
Étudier leur injectivité, surjectivité et bijectivité.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

A

une partie d'un ensemble

E

. On appelle fonction caractéristique de la partie

A

dans

E

, l'application

1_{A}: E \rightarrow \mathbb{R}

définie par

1_{A}(x)= \begin{cases}1 & \text { si } x \in A \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}

De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions caractéristiques? (a)

\min \left(1_{A}, 1_{B}\right)

(c)

1_{A} \cdot 1_{B}

(e)

1_{A}+1_{B}-1_{A} \cdot 1_{B}

(b)

\max \left(1_{A}, 1_{B}\right)

(d)

1-1_{A}

(f)

\left(1_{A}-1_{B}\right)^{2}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

A, B

deux parties de

E

.
Discuter et résoudre l'équation

A \cap X=B

d'inconnue

X \in \mathcal{P}(E)

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Étant données

A, B

et

C

trois parties d'un ensemble

E

, montrer que :
(a)

A \Delta B=A \Delta C \Longleftrightarrow B=C

(b)

A \backslash B=A \Longleftrightarrow B \backslash A=B

(c)

A \Delta B=A \cap B \Longrightarrow A=B=\emptyset

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

A

et

B

deux parties de

E

, on appelle différence symétrique de

A

et

B

, l'ensemble

A \Delta B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A)

Montrer

A \Delta B=(A \cup B) \backslash(A \cap B)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

A, B

deux parties de

E

.
Discuter et résoudre l'équation

A \cap X=B

d'inconnue

X \in \mathcal{P}(E)

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Étant donné

A, B

et

C

trois parties de

E

, justifier les équivalences suivantes :
(a)

A \subset B \Longleftrightarrow A \cup B=B

.
(b)

A=B \Longleftrightarrow A \cap B=A \cup B

.
(c)

A \cup B=A \cap C \Longleftrightarrow B \subset A \subset C

.
(d)

\left\{\begin{array}{l}A \cup B=A \cup C \\ A \cap B=A \cap C\end{array} \Longleftrightarrow B=C\right.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Étant donné

A

et

B

deux parties de

E

, justifier

\complement_{E} A \backslash \complement_{E} B=B \backslash A .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Décrire

\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))

où

a

désigne un élément.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Étant données

A, B

et

C

trois parties d'un ensemble

E

, montrer que :
(a)

A \Delta B=A \Delta C \Longleftrightarrow B=C

(b)

A \backslash B=A \Longleftrightarrow B \backslash A=B

(c)

A \Delta B=A \cap B \Longrightarrow A=B=\emptyset

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

A

et

B

deux parties de

E

, on appelle différence symétrique de

A

et

B

, l'ensemble

A \Delta B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A)

Montrer

A \Delta B=(A \cup B) \backslash(A \cap B)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Étant donné

A, B

et

C

trois parties de

E

, justifier les équivalences suivantes :
(a)

A \subset B \Longleftrightarrow A \cup B=B

.
(b)

A=B \Longleftrightarrow A \cap B=A \cup B

.
(c)

A \cup B=A \cap C \Longleftrightarrow B \subset A \subset C

.
(d)

\left\{\begin{array}{l}A \cup B=A \cup C \\ A \cap B=A \cap C\end{array} \Longleftrightarrow B=C\right.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Étant donné

A

et

B

deux parties de

E

, justifier

\complement_{E} A \backslash \complement_{E} B=B \backslash A .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu'il réunit les éléments d'un ensemble vérifiant une propriété.
Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu'on cite ses éléments.
Par exemple,

\{n \in \mathbb{Z} \mid \exists k \in \mathbb{Z}, n=2 k\}

et

\{2 k \mid k \in \mathbb{Z}\}

sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l'ensemble des entiers pairs.
(a) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble

\{1,3,5,7, \ldots\}

.
(b) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble

\{1,10,100,1000, \ldots\}

.
(c) Décrire en extension l'ensemble des nombres rationnels.
(d) Décrire en compréhension l'ensemble ]0;1].
(e) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble des valeurs prises par une fonction

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

.
(f) Décrire en compréhension l'ensemble des antécédents d'un réel y par une fonction

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

\left(u_{n}\right)

la suite réelle déterminée par

u_{0}=2, u_{1}=3 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=3 u_{n+1}-2 u_{n}

Montrer

\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=2^{n}+1

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Le raisonnement suivant est erroné :
Montrons, par récurrence sur

n \in \mathbb{N}^{*}

, la propriété :

\mathcal{P}(n)=n

points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pour

n=1

et

n=2

, la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang

n \geq 2

.
Considérons alors

n+1

points deux à deux distincts

A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1}

(HR) Les points

A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}

sont alignés sur une droite

\mathcal{D}

.
(HR) Les points

A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1}

sont alignés sur une droite

\mathcal{D}^{\prime}

.
Or

\mathcal{D}

et

\mathcal{D}^{\prime}

contiennent les deux points distincts

A_{2}

et

A_{n}

, donc

\mathcal{D}=\mathcal{D}^{\prime}

.
Par suite

A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1}

sont alignés sur la droite

\mathcal{D}=\mathcal{D}^{\prime}

.
Récurrence établie.
Où est l'erreur?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Montrer que

\forall n \in \mathbb{N}^{*}, 1 ! 3 ! \ldots(2 n+1) ! <br/> \geq((n+1) !)^{n+1}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 1

Soit

E=\{a, b, c\}

un ensemble. Peut-on écrire :
(a)

a \in E

(c)

\{a\} \subset E

(e)

\emptyset \subset E

(b)

a \subset E

(d)

\emptyset \in E

(f)

\{\emptyset\} \subset E

?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Montrer que

\forall n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}, 1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}>\frac{3 n}{2 n+1}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

une fonction continue.
On considère les assertions suivantes :

P \sim \ll \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=0

,

Q \sim \ll \exists x \in \mathbb{R}, f(x)=0

et

R \sim \ll(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)>0) \text { ou }(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)<0)

Parmi les implications suivantes lesquelles sont exactes :
(a)

P \Longrightarrow Q

(b)

Q \Longrightarrow P

(d)

\operatorname{non}(R) \Longrightarrow Q

(c)

Q \Longrightarrow R

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

I

un intervalle de

\mathbb{R}

non vide et

f: I \rightarrow \mathbb{R}

une fonction à valeurs réelles définie sur

I

.
Exprimer les négations des assertions suivantes :
(a)

\forall x \in I, f(x) \neq 0

(b)

\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x)=y

(c)

\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in I,|f(x)| \leq M

(d)

\forall x, y \in I, x \leq y \Longrightarrow f(x) \leq f(y)

(e)

\forall x, y \in I, f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y

(f)

\forall x \in I, f(x)>0 \Longrightarrow x \leq 0

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soient

I

un intervalle de

\mathbb{R}

et

f: I \rightarrow \mathbb{R}

une fonction définie sur

I

à valeurs réelles.
Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes:
(a) la fonction

f

s'annule
(b) la fonction

f

est la fonction nulle
(c)

f

n'est pas une fonction constante
(d)

f

ne prend jamais deux fois la même valeur
(e) la fonction

f

présente un minimum
(f)

f

prend des valeurs arbitrairement grandes
(g)

f

ne peut s'annuler qu'une seule fois.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soient

I

un intervalle de

\mathbb{R}

et

f: I \rightarrow \mathbb{R}

une fonction définie sur

I

à valeurs réelles.
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes :
(a)

\exists C \in \mathbb{R}, \forall x \in I, f(x)=C

(b)

\forall x \in I, f(x)=0 \Longrightarrow x=0

(c)

\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x)=y

(d)

\forall x, y \in I, x \leq y \Longrightarrow f(x) \leq f(y)

(e)

\forall x, y \in I, f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

On dispose de neuf billes visuellement identiques, elles ont toutes la même masse sauf une.
Comment, à l'aide d'une balance à deux plateaux, démasquer l'intrus en trois pesées?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 1

On dispose de neuf billes visuellement identiques,
huit d'entre elles ont même masse mais la neuvième est plus lourde.
Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l'intrus?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Étant donné

P, Q

et

R

trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité :
(a)

P

ou

(Q

et

R) \sim(P

ou

Q)

et

(P

ou

R)

(b)

\operatorname{non}(P \Longrightarrow Q) \sim P

et

\operatorname{non}(Q)

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Décrire les parties de

\mathbb{R}

dans lesquelles évoluent

x

pour que les assertions suivantes soient vraies:
(a)

(x>0

et

x<1)

ou

x=0

(b)

x>3

et

x<5

et

x \neq 4

(c)

(x \leq 0

et

x>1

) ou

x=4

(d)

x \geq 0 \Longrightarrow x \geq 2

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION