Maths

Analyse

Level 2

Soient

E, F, G

trois ensembles,

f: E \rightarrow F

et

g_{1}, g_{2}: F \rightarrow G

.
On suppose

f

surjective et

g_{1} \circ f=g_{2} \circ f

.
Montrer que

g_{1}=g_{2}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

E, F, G

trois ensembles,

f_{1}, f_{2}: E \rightarrow F

et

g: F \rightarrow G

.
On suppose

g \circ f_{1}=g \circ f_{2}

et

g

injective.
Montrer que

f_{1}=f_{2}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soient

f: E \rightarrow F

et

g: F \rightarrow E

deux applications telles que

f \circ g \circ f

soit bijective. Montrer que

f

et

g

sont bijectives.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

E, F, G

trois ensembles,

f: E \rightarrow F, g: F \rightarrow G

et

h: G \rightarrow E

.
Établir que si

h \circ g \circ f

est injective et que

g \circ f \circ h

et

f \circ h \circ g

sont surjectives alors

f, g

et

h

sont bijectives.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}

définie par

f(n)= \begin{cases}n / 2 & \text { si } n \text { est pair } \\ -\frac{n+1}{2} & \text { sinon. }\end{cases}

Montrer que

f

est bien définie et bijective.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soient

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

et

g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

les applications définies par :

\forall k \in \mathbb{N}, f(k)=2 k

et

g(k)= \begin{cases}k / 2 & \text { si } k \text { est pair } \\ (k-1) / 2 & \text { si } k \text { est impair. }\end{cases}

(a) Étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de

f

et de

g

.
(b) Préciser les applications

g \circ f

et

f \circ g

.
Étudier leur injectivité, surjectivité et bijectivité.

START THE EXERCICE

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Maths

Analyse

Level 2

Soit

A

une partie d'un ensemble

E

. On appelle fonction caractéristique de la partie

A

dans

E

, l'application

1_{A}: E \rightarrow \mathbb{R}

définie par

1_{A}(x)= \begin{cases}1 & \text { si } x \in A \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}

De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions caractéristiques?
(a)

\min \left(1_{A}, 1_{B}\right)

(c)

1_{A} \cdot 1_{B}

(e)

1_{A}+1_{B}-1_{A} \cdot 1_{B}

(b)

\max \left(1_{A}, 1_{B}\right)

(d)

1-1_{A}

(f)

\left(1_{A}-1_{B}\right)^{2}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

A

une partie non vide et minorée de

\mathbb{R}

. On pose

m=\inf A \text { et } B=A \cap]-\infty ; m+1]

Déterminer la borne inférieure de

B

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Pour

n \in \mathbb{N}

, on pose

f_{n}(x)=x^{n}(1-x)

.
Déterminer

\lim _{n \rightarrow+\infty} \sup _{x \in[0 ; 1]} f_{n}(x)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

A

et

B

deux parties de

\mathbb{R}

non vides et majorées.
Montrer que

\sup A, \sup B

et

\sup (A \cup B)

existent et

\sup (A \cup B)=\max (\sup A, \sup B)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

A=\left\{(-1)^{n}+\frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N}\right\}

Montrer que

A

est bornée,
déterminer

\inf A

et

\sup A

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 4

Montrer qu'il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

E

l'ensemble des couples

(I, f)

formé d'un intervalle

I

et d'une fonction réelle définie sur

I

.
On définit une relation

\preccurlyeq \operatorname{sur} E

par:

(I, f) \preccurlyeq(J, g) \Longleftrightarrow I \subset J

et

\left.g\right|_{I}=f

.
Montrer que

\preccurlyeq

est une relation d'ordre sur

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

A

une partie non vide et minorée de

\mathbb{R}

. On pose

m=\inf A \text { et } B=A \cap]-\infty ; m+1]

Déterminer la borne inférieure de

B

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Pour

n \in \mathbb{N}

, on pose

f_{n}(x)=x^{n}(1-x)

. Déterminer

\lim _{n \rightarrow+\infty} \sup _{x \in[0 ; 1]} f_{n}(x)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

On définit une relation binaire

\preccurlyeq

\operatorname{sur}\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z) \geq 0\}

par :

z \preccurlyeq z^{\prime} \Longleftrightarrow|z|<\left|z^{\prime}\right| \text { ou }\left(|z|=\left|z^{\prime}\right| \text { et } \operatorname{Re}(z) \leq \operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)\right) \text {. }

Montrer qu'il s'agit d'une relation d'ordre total.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

A

et

B

deux parties de

\mathbb{R}

non vides et majorées.
Montrer que

\sup A, \sup B

et

\sup (A \cup B)

existent et

\sup (A \cup B)=\max (\sup A, \sup B)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

A=\left\{(-1)^{n}+\frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N}\right\}

Montrer que

A

est bornée,
déterminer

\inf A

et

\sup A

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

\preccurlyeq

la relation définie sur

E=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \leq y\right\}

par

(x, y) \preccurlyeq\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \Longleftrightarrow(x, y)=\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \text { ou } y \leq x^{\prime}

.
Montrer que

\preccurlyeq

est une relation d'ordre sur

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 4

Montrer qu'il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

On définit une relation binaire

\preccurlyeq

sur

\mathbb{R}_{+}^{*}

par :

x \preccurlyeq y \Longleftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}, y=x^{n} .

Montrer que

\preccurlyeq

est une relation d'ordre.
Cet ordre est-il total ?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

A

la somme des chiffres de

4444^{4444},

B

celle de

A

et enfin

C

celle de

B

.
Que vaut

C

?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

E

l'ensemble des couples

(I, f)

formé d'un intervalle

I

et d'une fonction réelle définie sur

I

.
On définit une relation

\preccurlyeq \operatorname{sur} E

par:

(I, f) \preccurlyeq(J, g) \Longleftrightarrow I \subset J

et

\left.g\right|_{I}=f

.
Montrer que

\preccurlyeq

est une relation d'ordre sur

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soient

\lambda, a, b \in \mathbb{Z}

et

m \in \mathbb{N}^{*}

.
On suppose

\lambda

et

m

premiers entre eux.
Montrer

a \equiv b[m] \Longleftrightarrow \lambda a \equiv \lambda b[m]

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Montrer que si

n

est entier impair alors

n^{2} \equiv 1[8]

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Trouver les entiers

n \in \mathbb{Z}

tel que

10 \mid n^{2}+(n+1)^{2}+(n+3)^{2}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

On définit une relation binaire

\preccurlyeq \operatorname{sur}\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z) \geq 0\}

par :

z \preccurlyeq z^{\prime} \Longleftrightarrow|z|<\left|z^{\prime}\right| \text { ou }\left(|z|=\left|z^{\prime}\right| \text { et } \operatorname{Re}(z) \leq \operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)\right) \text {. }

Montrer qu'il s'agit d'une relation d'ordre total.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Montrer que pour tout

n \in \mathbb{N}

:
(a)

6 \mid 5 n^{3}+n

(c)

5 \mid 2^{2 n+1}+3^{2 n+1}

(b)

7 \mid 3^{2 n+1}+2^{n+2}

(d)

11 \mid

(e)

9 \mid 4^{n}-1-3 n

(f)

15^{2} \mid 16^{n}-1-15 n

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

\preccurlyeq

la relation définie sur

E=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \leq y\right\}

par

(x, y) \preccurlyeq\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \Longleftrightarrow(x, y)=\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \text { ou } y \leq x^{\prime}

Montrer que

\preccurlyeq

est une relation d'ordre sur

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Quel est le reste de la division euclidienne de

1234^{4321}+4321^{1234}

par 7 ?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Montrer que

11 \mid 2^{123}+3^{121}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

On définit une relation binaire

\preccurlyeq

sur

\mathbb{R}_{+}^{*}

par:

x \preccurlyeq y \Longleftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}, y=x^{n} .

Montrer que

\preccurlyeq

est une relation d'ordre.
Cet ordre est-il total ?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soit

A

la somme des chiffres de

4444^{4444},

B

celle de

A

et enfin

C

celle de

B

.
Que vaut

C

?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

E

un ensemble de cardinal

n,

\mathcal{R}

une relation d'équivalence sur

E

ayant

k

classes d'équivalence et

G=\left\{(x, y) \in E^{2} \mid x \mathcal{R} y\right\}

le graphe de

\mathcal{R}

supposé de cardinal

p.

Prouver qu'on a

n^{2} \leq k p

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Soient

\lambda, a, b \in \mathbb{Z}

et

m \in \mathbb{N}^{*}

.
On suppose

\lambda

et

m

premiers entre eux.
Montrer

a \equiv b[m] \Longleftrightarrow \lambda a \equiv \lambda b[m]

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

G

un groupe multiplicatif de cardinal

p^{\alpha}

avec

p

premier et

\alpha \in \mathbb{N}^{*}

.
Montrer que

Z(G) \neq\{1\}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Montrer que si

n

est entier impair alors

n^{2} \equiv 1[8]

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Trouver les entiers

n \in \mathbb{Z}

tel que

10 \mid n^{2}+(n+1)^{2}+(n+3)^{2}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 4

Soit

(G, \times)

un groupe et

H

un sous groupe de

(G, \times)

.
On définit une relation binaire

\mathcal{R}

sur

G

par :

x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow x y^{-1} \in H

Montrer que

\mathcal{R}

est une relation d'équivalence et en décrire les classes d'équivalence.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Montrer que pour tout

n \in \mathbb{N}

:
(a)

6 \mid 5 n^{3}+n

(b)

5 \mid 2^{2 n+1}+3^{2 n+1}

(c)

7 \mid 3^{2 n+1}+2^{n+2}

(d)

11 \mid

(e)

9 \mid 4^{n}-1-3 n

(f)

15^{2} \mid 16^{n}-1-15 n

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Quel est le reste de la division euclidienne de

1234^{4321}+4321^{1234}

par 7 ?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Montrer que

11 \mid 2^{123}+3^{121}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

On considère sur

\mathcal{F}(E, E)

la relation binaire

\mathcal{R}

définie par :

f \mathcal{R} g \Longleftrightarrow \exists \varphi \in \mathcal{S}(E) \text { telle que } f \circ \varphi=\varphi \circ g

(a)

Montrer que

\mathcal{R}

est une relation d'équivalence.

(b)

Décrire la classe d'équivalence d'une fonction donnée

f \in \mathcal{F}(E, E)

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

E

un ensemble de cardinal

n, \\

\mathcal{R}

une relation d'équivalence sur

E

ayant

k

classes d'équivalence et

G=\left\{(x, y) \in E^{2} \mid x \mathcal{R} y\right\}

le graphe de

\mathcal{R}

supposé de cardinal

p

. Prouver qu'on a

n^{2} \leq k p

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

E

un ensemble et

A

une partie de

E

.
On définit une relation

\mathcal{R}

sur

\wp(E)

par :

X \mathcal{R} Y \Longleftrightarrow X \cup A=Y \cup A

(a) Montrer que

\mathcal{R}

est une relation d'équivalence
(b) Décrire la classe d'équivalence de

X \in \wp(E)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

G

un groupe multiplicatif de cardinal

p^{\alpha}

avec

p

premier et

\alpha \in \mathbb{N}^{*}

.
Montrer que

Z(G) \neq\{1\}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 4

Soit

(G, \times)

un groupe et

H

un sous groupe de

(G, \times)

.
On définit une relation binaire

\mathcal{R}

sur

G

par :

x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow x y^{-1} \in H

Montrer que

\mathcal{R}

est une relation d'équivalence et en décrire les classes d'équivalence.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

\mathcal{R}

une relation binaire sur un ensemble

E

à la fois réflexive et transitive.
On définit les nouvelles relations

\mathcal{S}

et

\mathcal{T}

par :

x \mathcal{S} y \Longleftrightarrow(x \mathcal{R} y \text { et } y \mathcal{R} x) \text { et } x \mathcal{T} y \Longleftrightarrow(x \mathcal{R} y \text { ou } y \mathcal{R} x) \text {. }

Les relations

\mathcal{S}

et

\mathcal{T}

sont-elles des relations d'équivalences?

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Maths

Analyse

Level 2

On considère sur

\mathcal{F}(E, E)

la relation binaire

\mathcal{R}

définie par :

f \mathcal{R} g \Longleftrightarrow \exists \varphi \in \mathcal{S}(E) \text { telle que } f \circ \varphi=\varphi \circ g

(a) Montrer que

\mathcal{R}

est une relation d'équivalence.
(b) Décrire la classe d'équivalence d'une fonction donnée

f \in \mathcal{F}(E, E)

.

START THE EXERCICE

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Maths

Analyse

Level 3

Soit

E

un ensemble et

A

une partie de

E

.
On définit une relation

\mathcal{R}

sur

\wp(E)

par :

X \mathcal{R} Y \Longleftrightarrow X \cup A=Y \cup A

(a) Montrer que

\mathcal{R}

est une relation d'équivalence
(b) Décrire la classe d'équivalence de

X \in \wp(E)

START THE EXERCICE

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Maths

Analyse

Level 3

Soit

\mathcal{R}

une relation binaire sur un ensemble

E

à la fois réflexive et transitive.
On définit les nouvelles relations

\mathcal{S}

et

\mathcal{T}

par :

x \mathcal{S} y \Longleftrightarrow(x \mathcal{R} y \text { et } y \mathcal{R} x) \text { et } x \mathcal{T} y \Longleftrightarrow(x \mathcal{R} y \text { ou } y \mathcal{R} x) \text {. }

Les relations

\mathcal{S}

et

\mathcal{T}

sont-elles des relations d'équivalences?

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