Maths

Analyse

Level 3

Montrer

\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \left(\begin{array}{c}2 n \\\\n\end{array}\right) \geq \frac{2^{2 n}}{2 n+1}

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Maths

Analyse

Level 3

Soient

n \in \mathbb{N}^{*}

(a) Justifier

\forall 1 \leq k \leq n,\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)=\frac{n-k+1}{k}\left(\begin{array}{c}n \\k-1\end{array}\right)

(b) En déduire que pour tout entier

k

vérifiant

1 \leq k \leq n / 2

\left(\begin{array}{c}n \\k-1\end{array}\right)<\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)

et pour tout entier

k

vérifiant

n / 2 \leq k \leq n-1

\left(\begin{array}{c}n \\k+1\end{array}\right)<\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)

(c) Comment interpréter simplement les inégalités qui viennent d'être obtenues?

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Maths

Analyse

Level 4

Soit

n \in \mathbb{N}

avec

n \geq 2

.
(a) On suppose que

n

est premier. Montrer

\forall k \in\{2, \ldots, n-1\}, n \text { divise } \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)

(b) Inversement, on suppose que

n

est composé. Montrer

\exists k \in\{2, \ldots, n-1\}, n \text { ne divise pas }\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)

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Maths

Analyse

Level 3

Montrer que pour tout

n \in \mathbb{N}^{*}

\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)

=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}

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Maths

Analyse

Level 3

Calculer pour

n, p \in \mathbb{N}^{*}

, la somme

\sum_{i=0}^{n}\left(\prod_{j=1}^{p}(i+j)\right)

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Maths

Analyse

Level 3

(a) Soit

n \in \mathbb{N}

. Calculer

\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)

(b) Soient

k, \ell, n \in \mathbb{N}

tels que

\ell \leq k \leq n

. Comparer

\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}k \\\ell\end{array}\right) \text { et }\left(\begin{array}{l}n \\\ell\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}n-\ell \\k-\ell\end{array}\right) \text {. }

(c) Soit

\left(x_{n}\right)

une suite de réels. On pose

\forall k \in \mathbb{N}, y_{k}=\sum_{\ell=0}^{k}\left(\begin{array}{l}k \\\ell\end{array}\right) x_{\ell}

Montrer que

\forall n \in \mathbb{N}, x_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) y_{k}

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Maths

Analyse

Level 3

Développer

(a+b+c)^{n}

.

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Maths

Analyse

Level 4

Soit

n \in \mathbb{N}

. Calculer

\sum_{p=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\p\end{array}\right) j^{p}

En déduire

A=\sum_{k=0}^{\lfloor n / 3\rfloor}\left(\begin{array}{c}n \\3 k\end{array}\right), <br/> B=\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1) / 3\rfloor}\left(\begin{array}{c}n \\3 k+1\end{array}\right) \text { et } <br/> C=\sum_{k=0}^{\lfloor(n-2) / 3\rfloor}\left(\begin{array}{c}n \\3 k+2\end{array}\right)

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Maths

Analyse

Level 3

Calculer pour tout

n \in \mathbb{N}^{*}

:
(a)

S_{0}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)

(b)

S_{1}=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)

(c)

S_{2}=\sum_{k=0}^{n} k^{2}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)

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Maths

Analyse

Level 3

Exprimer

2 \times 4 \times \cdots \times(2 n)

puis

1 \times 3 \times \cdots \times(2 n+1)

à l'aide de factoriels

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Maths

Analyse

Level 3

Pour

n \in \mathbb{N}^{*}

, simplifier

\prod_{k=1}^{n} \frac{2 k+3}{2 k-1}

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Maths

Analyse

Level 2

On désire calculer le produit

P(x)=\prod_{0 \leq k \leq n} \cos \left(2^{k} x\right)

pour tout

x \in \mathbb{R}

.

(a) Commencer par traiter le cas

x \equiv 0[\pi]

.

(b) Pour

x \not \equiv 0[\pi]

, simplifier

\sin (x) P(x)

et exprimer

P(x)

.

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Maths

Analyse

Level 4

Calculer

\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)

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Maths

Analyse

Level 1

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :

\text { a) } \prod_{i=1}^{n} \alpha a_{i}=\alpha \prod_{i=1}^{n} a_{i}

\text { b) } \prod_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\prod_{i=1}^{n} a_{i} \prod_{i=1}^{n} b_{i}

\text { c) } \prod_{i=1}^{n} a_{i}+b_{i}=\prod_{i=1}^{n} a_{i}+\prod_{i=1}^{n} b_{i} \text { ? }

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Maths

Analyse

Level 4

Soit

n \in \mathbb{N}^{*}

.
Calculer

C_{n}=\sum_{1 \leq p<q \leq n}(p+q)

en remarquant

\sum_{1 \leq p, q \leq n} p+q=2 C_{n}+2 \sum_{p=1}^{n} p

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Maths

Analyse

Level 3

A partir des valeurs connues de

\sum_{k=1}^{n} k, \sum_{k=1}^{n} k^{2}

et

\sum_{k=1}^{n} k^{3}

, calculer :
(a)

\sum_{1 \leq i, j \leq n}(i+j)^{2}

(c)

\sum_{1 \leq i, j \leq n} \min (i, j)

(b)

\sum_{1 \leq i<j \leq n} i j

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Maths

Analyse

Level 5

Soit

n \in \mathbb{N}

.
Résoudre, lorsqu'elle a un sens, l'équation :

\sum_{k=0}^{n} \frac{\cos (k x)}{\cos ^{k} x}=0

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Maths

Analyse

Level 3

Calculer, pour tout

q \in \mathbb{C}

, la somme

\sum_{k=0}^{n} q^{2 k}

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Maths

Analyse

Level 3

Calculer, pour tout

q \in \mathbb{C}

, la somme

\sum_{k=0}^{n} q^{2 k}

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Maths

Analyse

Level 4

Calculer, pour tout

\theta \in \mathbb{R}

, la somme

\sum_{k=0}^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \theta}

.

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Maths

Analyse

Level 4

Soient

n \in \mathbb{N}^{*}

et

x \in \mathbb{R}

. \\ Montrer \\

\sum_{k=0}^{n}|\cos (k x)| \geq \frac{2 n+5}{8}

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Maths

Analyse

Level 4

Calculer, pour tout

\theta \in \mathbb{R}

, la somme

\sum_{k=0}^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \theta}

.

START THE EXERCICE

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Maths

Analyse

Level 4

Soient

n \in \mathbb{N}^{*}

et

x \in \mathbb{R}

.
Montrer

\sum_{k=0}^{n}|\cos (k x)| \geq \frac{2 n+5}{8}

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Maths

Analyse

Level 4

(a) Calculer

\sum_{k=1}^{p} k k !

(b) Soit

p \in \mathbb{N}

. Montrer que pour tout

n \in \llbracket 0,(p+1)

!

-1 \rrbracket

, il existe un uplet

\left(n_{0}, n_{1}, \ldots, n_{p}\right) \in \mathbb{N}^{p+1}

tel que

\forall k \in \llbracket 0 ; p \rrbracket, 0 \leq n_{k} \leq k \text { et } n=\sum_{k=0}^{p} n_{k} k !

(c) Justifier l'unicité d'une telle suite.

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Maths

Analyse

Level 3

Montrer

\forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n} k ! \leq(n+1) !

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Maths

Analyse

Level 4

(a) Calculer

\sum_{k=1}^{p} k k !

(b) Soit

p \in \mathbb{N}

. Montrer que pour tout

n \in \llbracket 0,(p+1)

!

-1 \rrbracket

, il existe un uplet

\left(n_{0}, n_{1}, \ldots, n_{p}\right) \in \mathbb{N}^{p+1}

tel que

\forall k \in \llbracket 0 ; p \rrbracket, 0 \leq n_{k} \leq k \text { et } n=\sum_{k=0}^{p} n_{k} k !

(c) Justifier l'unicité d'une telle suite.

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Maths

Analyse

Level 3

Montrer que la suite de terme général

u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}

est strictement croissante.

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Maths

Analyse

Level 2

Calculer

\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} k

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Maths

Analyse

Level 2

Calculer

\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1) !}

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Maths

Analyse

Level 3

A partir des valeurs connues de

\sum_{k=1}^{n} k

et

\sum_{k=1}^{n} k^{2}

, calculer :
(a)

\sum_{k=1}^{n} k(k+1)

(b)

1 \cdot n+2 \cdot(n-1)+\cdots+(n-1) \cdot 2+n \cdot 1

.

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Maths

Analyse

Level 3

Montrer

\forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n} k ! \leq(n+1) !

START THE EXERCICE

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Maths

Analyse

Level 3

Montrer que la suite de terme général

u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}

est strictement croissante.

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Maths

Analyse

Level 2

Établir l'une des trois formules suivantes:
(a)

\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}

(b)

\sum_{k=1}^{n} k^{2}=

\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}

(c)

\sum_{k=1}^{n} k^{3}=

\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}

START THE EXERCICE

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Maths

Analyse

Level 3

a)

x^2 - 2x +1 = 0

b)

3x - 4 = 5x -12

c)

6x^2 + 9 = 27

.

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Maths

Analyse

Level 2

Calculer

\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} k

START THE EXERCICE

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Maths

Analyse

Level 3

Résoudre le système

\left\{\begin{array}{r}x-a y+z=2 \\x+(a+1) z=3 \\x+a y+3 z=4\end{array}\right.

d'inconnue

(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3},

a

désignant un paramètre réel.

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Maths

Analyse

Level 3

A partir des valeurs connues de

\sum_{k=1}^{n} k

et

\sum_{k=1}^{n} k^{2}

, calculer :
(a)

\sum_{k=1}^{n} k(k+1)

(b)

1 \cdot n+2 \cdot(n-1)+\cdots+(n-1) \cdot 2+n \cdot 1

.

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Maths

Analyse

Level 2

Établir l'une des trois formules suivantes:
(a)

\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}

(b)

\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}

(c)

\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}

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Maths

Analyse

Level 3

Résoudre le système

\left\{\begin{array}{r}x-a y+z=2 \\x+(a+1) z=3 \\x+a y+3 z=4\end{array}\right.

d'inconnue

(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, a

désignant un paramètre réel.

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Maths

Analyse

Level 3

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :
a)

\sum_{i=1}^{n} \alpha+a_{i}=\alpha+\sum_{i=1}^{n} a_{i}

b)

\sum_{i=1}^{n} a_{i}+b_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}+\sum_{i=1}^{n} b_{i}

c)

\sum_{i=1}^{n} \alpha a_{i}=\alpha \sum_{i=1}^{n} a_{i}

d)

\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} \sum_{i=1}^{n} b_{i}

e)

\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{\alpha}=\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{\alpha}

f)

\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i, j}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i, j}

?

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Maths

Analyse

Level 3

Résoudre les systèmes d'inconnues

(x, y) \in \mathbb{R}^{2}

:
(a)

\left\{\begin{aligned} x^{2}+2 y^{2} & =1 \\ x^{2}+x y & =0\end{aligned}\right.

(b)

\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} & =1 \\ 2 x y & =1\end{aligned}\right.

(c)

\left\{\begin{array}{l}x^{2}=y \\ y^{2}=x\end{array}\right.

START THE EXERCICE

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Maths

Analyse

Level 3

Soient

a

un réel non nul.
Déterminer les triplets

(x, y, z)

de réels non nuls vérifiant :

\left\{\begin{array}{l}x+y+z=a \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}\end{array}\right.

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Maths

Analyse

Level 3

Observer que

x=\sqrt[3]{20+14 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14 \sqrt{2}}

est solution d'une équation de la forme

x^{3}=\alpha x+\beta

avec

\alpha, \beta \in \mathbb{R}

.
Résoudre cette dernière et déterminer

x

.

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Maths

Analyse

Level 3

Résoudre les systèmes d'inconnue

(x, y) \in \mathbb{R}^{2}

:
(a)

\left\{\begin{aligned} x^{2}+2 y^{2} & =1 \\ x^{2}+x y & =0\end{aligned}\right.

(b)

\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} & =1 \\ 2 x y & =1\end{aligned}\right.

(c)

\left\{\begin{array}{l}x^{2}=y \\ y^{2}=x\end{array}\right.

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Maths

Analyse

Level 3

Soient

a

un réel non nul.
Déterminer les triplets

(x, y, z)

de réels non nuls vérifiant :

\left\{\begin{array}{l}x+y+z=a \\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}\end{array}\right.

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Maths

Analyse

Level 3

Observer que

x=\sqrt[3]{20+14 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14 \sqrt{2}}

est solution d'une équation de la forme

x^{3}=\alpha x+\beta

avec

\alpha, \beta \in \mathbb{R}

.
Résoudre cette dernière et déterminer

x

.

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