Maths

Analyse

Level 4

Déterminer module et argument de

\mathrm{e}^{\mathrm{i} . \theta}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} . \theta^{\prime}}

pour

\theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Simplifier

\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+1}

pour

\left.\theta \in\right]-\pi ; \pi[

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

Z \in \mathbb{C}^{*}

.
Résoudre l'équation

\mathrm{e}^{z}=Z

d'inconnue

z \in \mathbb{C}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 5

Montrer que

\sin \left(\frac{\pi}{5}\right)=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 4

Soient

n \in \mathbb{N}, n \geq 2

et

\omega=\exp (2 \mathrm{i} \pi / n)

.
(a) Établir que pour tout

z \in \mathbb{C}, z \neq 1

,

\prod_{k=1}^{n-1}\left(z-\omega^{k}\right)=\sum_{\ell=0}^{n-1} z^{\ell}

(b) Justifier que l'égalité reste valable pour

z=1

.
(c) En déduire l'égalité

\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k \pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2 \pi}{7}}

.
Calculer les nombres :

A=\omega+\omega^{2}+\omega^{4}

et

B=\omega^{3}+\omega^{5}+\omega^{6}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 4

Soit

n \in \mathbb{N}^{*}

. Résoudre l'équation

(z+1)^{n}=(z-1)^{n} \text {. }

Combien y a-t-il de solutions?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

Simplifier :
(a)

j(j+1)

(b)

\frac{j}{j^{2}+1}

(c)

\frac{j+1}{j-1}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

\omega

une racine nème de l'unité différente de 1 . On pose

S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1) \omega^{k}

En calculant

(1-\omega) S

, déterminer la valeur de

S

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

n \geq 3, \omega_{1}, \ldots, \omega_{n}

les racines

n

-ième de l'unité avec

\omega_{n}=1

.
(a) Calculer pour

p \in \mathbb{Z}

S_{p}=\sum_{i=1}^{n} \omega_{i}^{p}

(b) Calculer

T=\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{1-\omega_{i}}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 4

Soit

n \in \mathbb{N}^{*}

.
On note

U_{n}

l'ensemble des racines

n

-ème de l'unité.
Calculer

\sum_{z \in U_{n}}|z-1|

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Résoudre l'équation

|z+1|=|z|+1

d'inconnue

z \in \mathbb{C}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 4

Soit

f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}

définie par

f(z)=\frac{z+|z|}{2}

Déterminer les valeurs prises par

f

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 2

(a) Vérifier

\forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C},\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=2\left|z_{1}\right|^{2}+2\left|z_{2}\right|^{2}

(b)On suppose

z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}

tels que

\left|z_{1}\right| \leq 1

et

\left|z_{2}\right| \leq 1

. Montrer qu'il existe

\varepsilon=1

ou -1 tel que

\left|z_{1}+\varepsilon z_{2}\right| \leq \sqrt{2}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soit

a \in \mathbb{C}

tel que

|a|<1

.
Déterminer l'ensemble des complexes

z

tels que

\left|\frac{z-a}{1-\bar{a} z}\right| \leq 1

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Établir :

\forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C},|z|+\left|z^{\prime}\right| \leq\left|z+z^{\prime}\right|+\left|z-z^{\prime}\right|

Interprétation géométrique et précision du cas d'égalité?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Soient

z \in \mathbb{C}^{*}

et

z^{\prime} \in \mathbb{C}

. Montrer

\left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right| \Longleftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}_{+}, z^{\prime}=\lambda . z .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Analyse

Level 3

Déterminer module et argument de

z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i \sqrt{2-\sqrt{2}}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION