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Déterminer module et argument de ei.θ+ei.θ\mathrm{e}^{\mathrm{i} . \theta}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} . \theta^{\prime}} pour θ,θR\theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Simplifier eiθ1eiθ+1\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+1}
pour θ]π;π[\left.\theta \in\right]-\pi ; \pi[.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit ZCZ \in \mathbb{C}^{*}.
Résoudre l'équation ez=Z\mathrm{e}^{z}=Z d'inconnue zCz \in \mathbb{C}.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Montrer que

sin(π5)=558 \sin \left(\frac{\pi}{5}\right)=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}
12START THE EXERCICE
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Soient nN,n2n \in \mathbb{N}, n \geq 2 et ω=exp(2iπ/n)\omega=\exp (2 \mathrm{i} \pi / n).
(a) Établir que pour tout zC,z1z \in \mathbb{C}, z \neq 1,
k=1n1(zωk)==0n1z\prod_{k=1}^{n-1}\left(z-\omega^{k}\right)=\sum_{\ell=0}^{n-1} z^{\ell}
(b) Justifier que l'égalité reste valable pour z=1z=1.
(c) En déduire l'égalité
k=1n1sinkπn=n2n1\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k \pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit ω=ei2π7\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2 \pi}{7}}.
Calculer les nombres :
A=ω+ω2+ω4A=\omega+\omega^{2}+\omega^{4} et B=ω3+ω5+ω6B=\omega^{3}+\omega^{5}+\omega^{6}
12START THE EXERCICE
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Soit nNn \in \mathbb{N}^{*}. Résoudre l'équation(z+1)n=(z1)n(z+1)^{n}=(z-1)^{n} \text {. } Combien y a-t-il de solutions?
12START THE EXERCICE
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Simplifier :
(a) j(j+1)j(j+1)
(b) jj2+1\frac{j}{j^{2}+1}
(c) j+1j1\frac{j+1}{j-1}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit ω\omega une racine nème de l'unité différente de 1 . On pose S=k=0n1(k+1)ωkS=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1) \omega^{k} En calculant (1ω)S(1-\omega) S, déterminer la valeur de SS.
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Soient n3,ω1,,ωnn \geq 3, \omega_{1}, \ldots, \omega_{n} les racines nn-ième de l'unité avec ωn=1\omega_{n}=1.
(a) Calculer pour pZp \in \mathbb{Z}
Sp=i=1nωipS_{p}=\sum_{i=1}^{n} \omega_{i}^{p}
(b) Calculer
T=i=1n111ωiT=\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{1-\omega_{i}}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit nNn \in \mathbb{N}^{*}.
On note UnU_{n} l'ensemble des racines nn-ème de l'unité.
CalculerzUnz1\sum_{z \in U_{n}}|z-1|
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Résoudre l'équation z+1=z+1|z+1|=|z|+1
d'inconnue zCz \in \mathbb{C}.
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Soit f:CCf: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} définie par f(z)=z+z2f(z)=\frac{z+|z|}{2}
Déterminer les valeurs prises par ff.
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(a) Vérifierz1,z2C,z1+z22+z1z22=2z12+2z22\forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C},\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=2\left|z_{1}\right|^{2}+2\left|z_{2}\right|^{2}
(b)On suppose z1,z2Cz_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} tels que z11\left|z_{1}\right| \leq 1 et z21\left|z_{2}\right| \leq 1. Montrer qu'il existe ε=1\varepsilon=1 ou -1 tel quez1+εz22\left|z_{1}+\varepsilon z_{2}\right| \leq \sqrt{2}
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Soit aCa \in \mathbb{C} tel que a<1|a|<1.
Déterminer l'ensemble des complexes zz tels queza1aˉz1\left|\frac{z-a}{1-\bar{a} z}\right| \leq 1
12START THE EXERCICE
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Établir :z,zC,z+zz+z+zz\forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C},|z|+\left|z^{\prime}\right| \leq\left|z+z^{\prime}\right|+\left|z-z^{\prime}\right|
Interprétation géométrique et précision du cas d'égalité?
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient zCz \in \mathbb{C}^{*} et zCz^{\prime} \in \mathbb{C}. Montrer
z+z=z+zλR+,z=λ.z.\left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right| \Longleftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}_{+}, z^{\prime}=\lambda . z .
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Déterminer module et argument de
z=2+2+i22z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i \sqrt{2-\sqrt{2}}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION